第06讲 向量法求空间角（含探索性问题）(精讲）（原卷版）_1.docx

第06讲向量法求空间角（含探索性问题）

目录

TOC\o1-3\h\u第一部分：知识点必背 2

第二部分：高考真题回归 3

第三部分：高频考点一遍过 4

高频考点一：异面直线所成的角 4

角度1：求异面直线所成角 4

角度2：根据异面直线所成角求参数 6

高频考点二：直线与平面所成的角 10

角度1：求直线与平面所成角(定值问题） 10

角度2：求直线与平面所成角(最值，范围问题） 12

角度3：已知线面角求其他参数（探索性问题） 14

高频考点三：二面角 21

角度1：求平面与平面所成角(定值问题） 21

角度2：求平面与平面所成角(最值问题） 24

角度3：已知二面角求其他参数（探索性问题） 26

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第一部分：知识点必背

知识点一：异面直线所成角

设异面直线和所成角为，其方向向量分别为，；则异面直线所成角向量求法：

①

②

知识点二：直线和平面所成角

设直线的方向向量为，平面的一个法向量为，直线与平面所成的角为，则①；

②.

知识点三：平面与平面所成角（二面角）

（1）如图①，，是二面角的两个面内与棱垂直的直线，则二面角的大小．

（2）如图②③，，分别是二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小满足：

①；

②

若二面角为锐二面角（取正），则；

若二面角为顿二面角（取负），则；

（特别说明，有些题目会提醒求锐二面角；有些题目没有明显提示，需考生自己看图判定为锐二面角还是钝二面角.）

第二部分：高考真题回归

1．（2023·全国（新高考Ⅱ卷）·统考高考真题）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．

????

(1)证明：；

(2)点F满足，求二面角的正弦值．

2．（2023·全国（新高考Ⅰ卷）·统考高考真题）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．

??

(1)证明：；

(2)点在棱上，当二面角为时，求．

3．（2022·天津·统考高考真题）直三棱柱中，，D为的中点，E为的中点，F为的中点．

(1)求证：平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值；

(3)求平面与平面夹角的余弦值．

第三部分：高频考点一遍过

高频考点一：异面直线所成的角

角度1：求异面直线所成角

典型例题

例题1．（2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校考模拟预测）如图四棱锥中，底面为正方形，且各棱长均相等，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（????）

??

A． B． C． D．

例题2．（2023·全国·模拟预测）如图，在直三棱柱中，，，为的中点，为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（????）

A． B． C． D．

例题3．（2023·广东·统考模拟预测）已知正四棱锥的侧棱长为2，底面边长为，点在射线上，，分别是，的中点，则异面直线与所成角的余弦值的最大值为（???）

A． B． C． D．

例题4．（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，，点是的中点，点是上不与端点重合的动点，则异面直线与所成角的正切值最小为（????）

A． B． C． D．

例题5．（2023·辽宁丹东·统考二模）如图，平行六面体的所有棱长都相等，平面平面,二面角的大小为120°，为棱的中点．

(1)证明：

(2)点在棱上，平面，求直线与所成角的余弦值．

角度2：根据异面直线所成角求参数

典型例题

例题1．（2023·云南保山·统考二模）已知正方体，为上底面所在平面内的动点，当直线与的所成角为45°时，点的轨迹为（????）

A．圆 B．直线 C．抛物线 D．椭圆

例题2．（2023春·高二课时练习）如图，在四棱锥中，底面，底面为矩形，是线段的中点，是线段上一点（不与两点重合），且．若直线与所成角的余弦值是，则（????）

A． B． C． D．

例题3．（2023春·高二课时练习）如图，在正三棱柱中，、分别是、的中点.设是线段上的（包括两个端点）动点，当直线与所成角的余弦值为，则线段的长为_______.

例题4．（2023春·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）已知正方体的棱长为1.

(1)的平面截正方体为两个部分，求体积大的部分几何体的体积；

(2)动点，在线段，上，且，为的中点，异面直线与所成的角的余弦值为，求实数的值.

考点一练透核心考点

1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）如图，四棱锥中，底面为正方形，是正三角形，，平面平面，则与所成角的余弦值为（????）

??

A． B． C． D．

2．（2023·河南郑州·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长均相等，，则异面直线与所成角的余弦值为（????）

??

A．