第07讲 抛物线(精讲）（解析版）_1.docx

第07讲抛物线

目录

TOC\o1-2\h\u第一部分：知识点必背 1

第二部分：高考真题回归 2

第三部分：高频考点一遍过 4

高频考点一：抛物线定义理解 4

高频考点二：利用抛物线定义求轨迹 5

高频考点三：抛物线中的距离及最值问题 7

高频考点四：抛物线的标准方程 11

高频考点五：抛物线的简单几何性质 12

高频考点六：抛物线焦点弦（焦半径） 14

高频考点七：求实际问题中的抛物线 16

第四部分：数学文化题 19

第一部分：知识点必背

知识点一：抛物线的定义

1、抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．

2、抛物线的数学表达式：(为点到准线的距离).

知识点二：抛物线的标准方程和几何性质

标准方程

（）

（）

（）

（）

图形

范围

，

，

，

，

对称轴

轴

轴

轴

轴

焦点坐标

准线方程

顶点坐标

离心率

通径长

知识点三：抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距）

（1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；

（2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则；

（3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；

（4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则.

第二部分：高考真题回归

1．（2023·北京·统考高考真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（????）

A．7 B．6 C．5 D．4

【答案】D

【详解】因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上，

所以到准线的距离为，

又到直线的距离为，

所以，故.

故选：D.

2．（多选）（2023·全国（新高考Ⅱ卷）·统考高考真题）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（????）．

A． B．

C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形

【答案】AC

【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点，

所以，则A选项正确，且抛物线的方程为.

B选项：设，

由消去并化简得，

解得，所以，B选项错误.

C选项：设的中点为，到直线的距离分别为，

因为，

即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确.

D选项：直线，即，

到直线的距离为，

所以三角形的面积为，

由上述分析可知，

所以，

所以三角形不是等腰三角形，D选项错误.

故选：AC.

??

3．（2023·全国（乙卷文理）·统考高考真题）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为.

【答案】

【详解】由题意可得：，则，抛物线的方程为，

准线方程为，点到的准线的距离为.

故答案为：.

第三部分：高频考点一遍过

高频考点一：抛物线定义理解

典型例题

例题1．（2023春·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考期中）若抛物线上一点到其准线的距离为3，则抛物线的标准方程为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】到其准线的距离为，

故抛物线方程为，

故选：A

例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为,是上一点，，则（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【详解】依题意知，焦点，

由定义知：，

所以，所以．

故选：C.

练透核心考点

1．（2023春·江西赣州·高二江西省龙南中学校考期末）抛物线上一点的纵坐标为2，则点与抛物线焦点的距离为（????）

A．2 B． C．3 D．4

【答案】B

【详解】由抛物线的准线方程为，焦点，

因为抛物线上一点的纵坐标为2，

根据抛物线的定义，可得点与抛物线焦点的距离为.

故选：B.

2．（2023·西藏拉萨·统考一模）已知点是抛物线：的焦点，是抛物线上的一点，若，，则点的纵坐标为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】设点的坐标为，

由题意，得，所以，

根据抛物线的定义，知，

所以，代入抛物线方程得，，

则，

故选：C．

高频考点二：利用抛物线定义求轨迹

典型例题

例题1．（2023秋·福建宁德·高二统考期末）已知动圆经过点，且与直线：相切，则动圆圆心的轨迹方程为（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】设动点M(x，y)，圆M与直线l：x＝－3的切点为N，则|MA|＝|MN|，即动点M到定点A和定直线l：x＝－3的距离相等.

∴点M的轨迹是抛物线，且以A(3，0)为焦点，以直线l：x＝－3为准线，

故动圆圆心M的轨迹方程是y2＝12x.

故选：A.

例题2．（2023·全国·高三专题练习）动点到轴的距离比它到定点的距离小2，求动点的轨迹方程．

【答案】或．

【详解】解：∵动点M到y轴的距离比它到定点的距离小2，

∴动点M到定点的距离与它到定直线的距离相等．

∴动点M到轨迹