第08讲 函数与方程（高频精讲）（解析版）_1.docx

第08讲函数与方程(精讲）

目录

TOC\o1-2\h\u第08讲函数与方程(精讲） 1

第一部分：知识点必背 2

1、函数的零点 2

第二部分：高考真题回归 2

第三部分：高频考点一遍过 6

高频考点一：函数零点所在区间的判断 6

高频考点二：函数零点个数的判断 9

高频考点三：根据零点个数求函数解析式中的参数 14

高频考点四：比较零点大小关系 20

高频考点五：求零点和 23

高频考点六：根据零点所在区间求参数 29

高频考点七：二分法求零点 33

第四部分：新文化（定义）题 35

第五部分：数学思想方法 38

①函数与方程的思想 38

②数形结合的思想 40

③分类讨论的思想 43

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第一部分：知识点必背

1、函数的零点

对于一般函数，我们把使成立的实数叫做函数的零点．注

意函数的零点不是点，是一个数.

2、函数的零点与方程的根之间的联系

函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与轴的交点的横坐标

即方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．

3、零点存在性定理

如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根.

注：上述定理只能判断出零点存在，不能确定零点个数.

4、二分法

对于在区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．求方程的近似解就是求函数零点的近似值．

5、高频考点技巧

①若连续不断的函数是定义域上的单调函数，则至多有一个零点；

②连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；

③函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点；

④函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点，其中为常数.

第二部分：高考真题回归

1．（2021·天津·统考高考真题）设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】最多有2个根，所以至少有4个根，

由可得，

由可得，

（1）时，当时，有4个零点，即；

当，有5个零点，即；

当，有6个零点，即；

（2）当时，，

，

当时，，无零点；

当时，，有1个零点；

当时，令，则，此时有2个零点；

所以若时，有1个零点.

综上，要使在区间内恰有6个零点，则应满足

或或，

则可解得a的取值范围是.

2．（2021·北京·统考高考真题）已知函数，给出下列四个结论：

①若，恰有2个零点；

②存在负数，使得恰有1个零点；

③存在负数，使得恰有3个零点；

④存在正数，使得恰有3个零点．

其中所有正确结论的序号是_______．

【答案】①②④

【详解】对于①，当时，由，可得或，①正确；

对于②，考查直线与曲线相切于点，

对函数求导得，由题意可得，解得，

所以，存在，使得只有一个零点，②正确；

对于③，当直线过点时，，解得，

所以，当时，直线与曲线有两个交点，

若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点，

直线与曲线有一个交点，所以，，此不等式无解，

因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误；

对于④，考查直线与曲线相切于点，

对函数求导得，由题意可得，解得，

所以，当时，函数有三个零点，④正确.

故答案为：①②④.

3．（2022·天津·统考高考真题）设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为______.

【答案】

【详解】设，，由可得.

要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则，

解得或.

①当时，，作出函数、的图象如下图所示：

此时函数只有两个零点，不合乎题意；

②当时，设函数的两个零点分别为、，

要使得函数至少有个零点，则，

所以，，解得；

③当时，，作出函数、的图象如下图所示：

由图可知，函数的零点个数为，合乎题意；

④当时，设函数的两个零点分别为、，

要使得函数至少有个零点，则，

可得，解得，此时.

综上所述，实数的取值范围是.

故答案为：.

4．（2022·北京·统考高考真题）若函数的一个零点为，则________；________．

【答案】????1????

【详解】∵，∴

∴

故答案为：1，

第三部分：高频考点一遍过

高频考点一：函数零点所在区间的判断

典型例题

例题1．（2023秋·浙江·高一期末）用二分法求方程的近似解，以下区间可以作为初始区间的是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】设，显然函数图象是连续的，

则有，，，，，

所以，，，，

故区间可以作为初始区间，故A，C，D错误.

故选：B.

例题2．（2023春·浙江衢州·高一校考阶段练习）函数零点