全国大学生数学竞赛数学类比赛大纲.pdfVIP

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数学分析占50%，高等代数占35%，

解析几何占15%，具体内容如下：

Ⅰ、数学分析部分

一、集合与函数

1.实数集、有理数与无理数

的稠密性，实数集的界与确界、确

界存在性定理、闭区间套定理、聚

点定理、有限覆盖定理.

2.上的距离、邻域、聚点、界

点、边界、开集、闭集、有界（无

界）集、上的闭矩形套定理、聚点

定理、有限复盖定理、基本点列，

以及上述概念和定理在上的推广.

3.函数、映射、变换概念及其

仅供参考学习第1页

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几何意义，隐函数概念，反函数与

逆变换，反函数存在性定理，初等

函数以及与之相关的性质.

二、极限与连续

1.数列极限、收敛数列的基

本性质（极限唯一性、有界性、保

号性、不等式性质）.

2.数列收敛的条件（Cauchy

准则、迫敛性、单调有界原理、数

列收敛与其子列收敛的关系），极限

及其应用.

3.一元函数极限的定义、函数

极限的基本性质（唯一性、局部有

界性、保号性、不等式性质、迫敛

仅供参考学习第2页

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性），归结原则和Cauchy收敛准则，

两个重要极限及其应用，计算一元

函数极限的各种方法，无穷小量与

无穷大量、阶的比较，记号O与o

的意义，多元函数重极限与累次极

限概念、基本性质，二元函数的二

重极限与累次极限的关系.

4.函数连续与间断、一致连续

性、连续函数的局部性质（局部有

界性、保号性），有界闭集上连续函

数的性质（有界性、最大值最小值

定理、介值定理、一致连续性）.

三、一元函数微分学

1.导数及其几何意义、可导与

仅供参考学习第3页

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连续的关系、导数的各种计算方法，

微分及其几何意义、可微与可导的

关系、一阶微分形式不变性.

2.微分学基本定理：Fermat定

理，Rolle定理，Lagrange定理，

Cauchy定理，Taylor公式(Peano

余项与Lagrange余项).

3.一元微分学的应用：函数单

调性的判别、极值、最大值和最小

值、凸函数及其应用、曲线的凹凸

性、拐点、渐近线、函数图象的讨

论、洛必达（LHospital）法则、

近似计算.

四、多元函数微分学

仅供参考学习第4页

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1.偏导数、全微分及其几何

意义，可微与偏导存在、连续之间

的关系，复合函数的偏导数与全微

分，一阶微分形式不变性，方向导

数与梯度，高阶偏导数，混合偏导

数与顺序无关性，二元函数中值定

理与Taylor公式.

2.隐函数存在定理、隐函数组

存在定理、隐函数（组）求导方法、

反函数组与坐标变换.

3.几何应用（平面曲线的切线

与法线、空间曲线的切线与法平面、