2025年新人教版高考数学一轮复习讲义含答案解析 第三章　培优点4　切(割)线放缩.pdfVIP

2025年新人教版高考数学一轮复习讲义含答案解析

培优点4切(割)线放缩

在高考压轴题中，经常考查与导数有关的不等式问题，这些问题可以用常规方法求解，

也可以用切线不等式进行放缩．导数切线放缩法是一种非常实用的数学方法，它可以帮助我

们更好地理解函数的性质和变化规律，更能使问题简单化，利用切线不等式进行求解，能起

到事半功倍的效果．

x

导数方法证明不等式中，最常见的是e和lnx与其他代数式结合的问题，对于这类问题，

x

可以考虑先对e和lnx进行放缩，使问题简化，简化后再构建函数进行证明．常见的放缩公

x

式如下：(1)e≥1＋x，当且仅当x＝0时取等号；(2)lnx≤x－1，当且仅当x＝1时取等号．

题型一单切线放缩

x

常见的切线放缩：∀x∈R都有e≥x＋1.当x－1时，ln(x＋1)≤x.当x0时，xsinx；当x0

时，xsinx.

例1(2023·重庆模拟)已知函数f(x)＝sinx－aln(x＋1)．

(1)若a＝1，证明：当x∈[0,1]时，f(x)≥0；

x

(2)若a＝－1，证明：当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤2e－2.

证明(1)首先证明sinx≤x，x∈[0，＋∞)，证明如下：

构造j(x)＝sinx－x，x∈[0，＋∞)，

则j′(x)＝cosx－1≤0恒成立，

故j(x)＝sinx－x在[0，＋∞)上单调递减，

故j(x)≤j(0)＝0，

所以sinx≤x，x∈[0，＋∞)．

当a＝1时，f(x)＝sinx－ln(x＋1)，x∈[0,1]，

1x1

2

f′(x)＝cosx－＝1－2sin－

x＋12x＋1

x

1x21

≥1－222－＝1－－

x＋12x＋1

x1

≥1－－(0≤x≤1)，

2x＋1

2

2＋2x－x－x－2x1－x

故f′(x)≥＝≥0在x∈[0,1]上恒成立，

2＋2x2＋2x

所以f(x)在[0,1]上单调递增，

故f(x)≥f(0)＝0.

x

(2)令g(x)＝(2e－2)－f(x)，x∈[0，＋∞)．

x

当a＝－1时，g(x)＝2e－2－sinx－ln(x＋1)

x

＝2(e－x－1)＋x－sinx＋x－ln(x＋1)，

x

下证：e－x－1≥0(x≥0)，x－sinx≥0(x≥0)，x－ln(x＋1)≥0(x≥0)，且在x＝0处取等号，

xx

令r(x)＝e－x－1(x≥0)，则r′(x)＝e－1≥0，

x

故r(x)＝e－x－1在[0，＋∞)上单调递增，

故r(x)≥r(0)＝0，即x－sinx≥0，

且在x＝0处取等号；

由(1)知j(x)＝sinx－x在[0，＋∞)上单调递减，

故j(x)≤j(0)＝0，即x－sinx≥0，且在x＝0处取等号；

令t(x)＝x－ln(x＋1)(x≥0)，

1x

则t′(x)＝1－＝≥0，

x＋1x＋1

故t(x)＝x－ln(x＋1)在[0，＋∞)上单调递增，

故t(x)≥t(0)＝0，且在x＝0处取等号，

x