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2025年新人教版高考数学一轮复习讲义含答案解析
§7.10立体几何中的动态、轨迹问题
重点解读“动态”问题是高考立体几何问题最具创新意识的题型,它渗透了一些“动
态”的点、线、面等元素,给静态的立体几何题赋予了活力,题型更新颖.同时,由于“动
态”的存在,也使立体几何题更趋多元化,将立体几何问题与平面几何中的解三角形问题、
多边形面积问题以及解析几何问题之间建立桥梁,使得它们之间灵活转化.
题型一平行、垂直中的动态轨迹问题
例1如图,在棱长为a的正方体ABCD-ABCD中,E,F,G,H,N分别是CC,CD,
1111111
DD,CD,BC的中点,M在四边形EFGH边上及其内部运动,若MN∥平面ABD,则点
11
M轨迹的长度是()
3a2a
A.3aB.2aC.D.
22
答案D
解析连接HN,GN(图略),
∵在棱长为a的正方体ABCD-ABCD中,E,F,G,H,N分别是CC,CD,DD,
11111111
CD,BC的中点,则GH∥BA,HN∥BD,
1
又GH⊄平面ABD,BA⊂平面ABD,
111
∴GH∥平面ABD,
1
同理可证得NH∥平面ABD,
1
又GH∩HN=H,GH,HN⊂平面GHN,
∴平面ABD∥平面GHN,
1
又∵点M在四边形EFGH上及其内部运动,MN∥平面ABD,
1
则点M在线段GH上运动,即满足条件,
22a
又GH=a,则点M轨迹的长度是.
22
思维升华动点轨迹的判断一般根据线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理,结合圆或
圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹,有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方
程.
跟踪训练1正四棱锥S-ABCD的底面边长为2,高为2,E是边BC的中点,动点P在正
四棱锥表面上运动,并且总保持PE⊥AC,则动点P的轨迹的周长为()
A.6+2B.6-2
5
C.4D.+1
答案A
解析如图,设AC,BD交于O,连接SO,
由正四棱锥的性质可得SO⊥平面ABCD,
因为AC⊂平面ABCD,故SO⊥AC.
又BD⊥AC,SO∩BD=O,SO,BD⊂平面SBD,故AC⊥平面SBD.
由题意,PE⊥AC则动点P的轨迹为过E且垂直AC的平面与正四棱锥S-ABCD的交线,
即平面EFG,则AC⊥平面EFG.
由线面垂直的性质可得平面SBD∥平面EFG,
又由面面平行的性质可得EG∥SB,GF∥SD,EF∥BD,
又E是边BC的中点,故EG,GF,EF分别为△SBC,△SDC,△BCD的中位线.
2
由题意BD=22,SB=SD=2+2=6,
1
故EG+EF+GF=×(6+6+22)=6+2.
2
62
即动点P的轨迹的周长为+.
题型二距离、角度有关的动态轨迹问题
例2已知长
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