2025年新人教版高考数学一轮复习讲义含答案解析 第七章　§7.8　空间距离及立体几何中的探索性问题.pdfVIP

2025年新人教版高考数学一轮复习讲义含答案解析

§7.8空间距离及立体几何中的探索性问题

课标要求1.会求空间中点到直线以及点到平面的距离.2.以空间向量为工具，探究空间几

何体中线、面的位置关系或空间角存在的条件．

知识梳理

1．点到直线的距离

→

AP

如图，已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设＝a，

→→

则向量AP在直线l上的投影向量AQ＝(a·u)u，在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝

→→

2222

|AP|－|AQ|＝a－a·u.

2．点到平面的距离

如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的

→

AP

垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l

→

→nAP·n→

→AP·|||AP·n|

QP||

上的投影向量的长度，因此PQ＝|n|＝|n|＝.

|n|

自主诊断

1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)

(1)平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β.(×)

(2)点到直线的距离也就是该点与直线上任一点连线的长度．(×)

(3)直线l平行于平面α，则直线l上各点到平面α的距离相等．(√)

(4)直线l上两点到平面α的距离相等，则l平行于平面α.(×)

2．已知直线l过定点A(2,3,1)，且n＝(0,1,1)为其一个方向向量，则点P(4,3,2)到直线l的距

离为()

21032

A.2B.C.D.

222

答案D

→

→|PA·n|

→→|PA·n|2→22

解析PA＝(－2,0，－1)，|PA|＝5，＝，则点P到直线l的距离d＝|PA|－|n|

|n|2

132

＝5－＝.

22

3．(选择性必修第一册P44T14改编)定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任

意一点到另一条直线距离的最小值．在长方体ABCD－ABCD中，AB＝1，BC＝2，AA

11111

＝3，则异面直线AC与BC之间的距离是(