《导数与函数的图象、单调性》专题精讲.docxVIP

高中数学精编资源

PAGE1/NUMPAGES3

《导数与函数的图象、单调性》专题精讲

1.函数的单调性

(1)设函数在某个区间可导,如果,则在此区间上为增函数;如果,则在此区间上为减函数.

(2)如果在某区间内恒有,则为常数.

反之,若已知可导函数在某个区间上单调递增,则且不恒为零;可导函数在某个区间上单调递减,则且不恒为零.

2.求单调性的步骤

(1)确定函数的定义域(不可或缺,否则易致错).

(2)解不等式或.

(3)确定并指出函数的单调区间(区间形式,不要写范围形式),区间之间用“,”与“和”隔开,不能用“”连接.

3.原函数图象与导函数图象的关系:导函数图象的正负只决定原函数图象的增减,不能决定原函数图象的正负.

典例1(2018全国卷II)函数的图象大致为()

A.

B.

C.

D.

解析:本题考查利用导数研究函数的单调性,通过计算原函数的导数,根据函数的单调性进行推测判断.

∵为奇函数,舍去,舍去D;

∵,所以C不对.

答案:B

典例2若函数在单调递增,则的取值范围是()

A.

B.

C.

D.

解析:本题考查利用导数研究函数的单调性,分析题目要求,先计算出函数的导数,再根据求单调性的步骤解不等式,最后通过换元法,列不等式进行参数范围的运算求解.

由题知,对恒成立,

设,即对恒成立,∴,解得.

答案:

典例3设函数,其中为常数.

(1)若,求曲线在点处的切线方程;

(2)讨论函数的单调性.

思路:本题(1)已知,代入原函数,求解函数解析式,利用求曲线在某点处的切线的解题步骤,解得切线的方程;对于第(2)问首先判断参数对导数在的区间正负有影响,则需要对参数进行分类讨论,注意讨论时要不重不漏.

解析:(1)由题意知在时,.此时,可得,又,所以曲线在处的切线方程为.

(2)函数的定义域为,

当时,,函数在上单调递增,当时,令,

由于,

①当时,,,函数在上单调递减,

②当时,,函数在上单调递减,

③当时,,设是函数的两个零点,

则,

由,

所以时,,函数单调递减,时,,函数单调递增,时,,函数单调递减,综上可知,当时,函数在,上单调递增;

当时,函数在上单调递减;

当时,在,上单调递减,

在上单调递增.