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《组合》同步学案

情境导入

某国际会议中心有A,B,C,D和E共5种不同功能的会议室,且每种功能的会议室又有大、中、小和特小4种型号,总共20间会议室,现在有一个国际学术会议需要选择3种不同功能的6间会议室,并且每种功能的会议室选2种型号.

试问:会议中心的工作人员安排会议的方法有多少种?

自主学习

自学导引

1.组合的定义

一般地,从个不同元素中取出个元素作为______,叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合.

2.排列与组合的联系与区别

从排列与组合的定义可以知道,两者都是从______,这是它们的共同点.但排列与______有关,而组合与______无关.

答案:

1.一组

个不同元素中取出个元素元素的顺序元素的顺序

预习测评

1.下列问题中,组合问题的个数是()

(1)从全班50人中选出5人组成班委会,有多少种情况?

(2)从全班50人中选出5人分别担任班长、副班长、团支部书记、学习委员、生活委员,有多少种情况?

(3)从中取出两个数相乘,可得到多少个不同的积?

(4)从中取出两个数相减或相除,可得到多少个不同的差或商?

A.1

B.2

C.3

D.4

2.以下不属于组合问题的是()

A.从3个不同的小球中取2个按顺序排成一列,有多少种不同的取法

B.一组有7名成员,二组有9名成员,从两个组中各选1名成员,不同方法的种数是多少

C.在电视节目中,主持人从100位幸运观众中选2名幸运之星,有多少种不同的选法

D.从13位司机中任选两位组成一组开同一辆车,有多少种不同的选法

3.某教育局从4名骨干教师中选3名教师去支教,则不同的选法有()

A.2种

B.3种

C.4种

D.5种

4.某校开设A类选修课3门,B类选修课2门,一位同学从中共选2门.则不同的选法共有()

A.10种

B.15种

C.20种

D.30种

答案:

1.

解析:对于(1),从50人中选出5人组成班委会,不考虑顺序是组合问题.(2)为排列问题.对于(3),因为乘法满足交换律,所以从中任取两个数相乘是组合问题.(4)为排列问题.

2.A

解析:只有从3个不同的小球中取2个按顺序排成一列,与顺序有关,是排列问题.

3.C

解析:给4名教师分别编号为A,B,C,D,选法有,共4种.

4.A

解析:本道题目可理解为求从5个不同元素中取出2个元素作为一个组合的个数.给两类课程编号后,用列举法求解.

新知探究

探究点1组合的概念

知识详解

1.组合的定义

一般地,从个不同元素中取出个元素作为一组,叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合.

2.排列与组合的联系与区别

联系:两者都是从个不同元素中取出个元素.

区别:排列与元素的顺序有关,组合与元素的顺序无关.

只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的;两个组合只要元素相同,不论元素的顺序如何,都是相同的.在分析具体问题时,应抓住是否有“顺序”这个关键来区分排列与组合问题.

典例探究

例1下列问题不是组合问题的是()

A.从甲、乙、丙、丁四位老师中选取两位去参加学习交流会,有多少种选法

B.平面上有2016个不同的点,它们中任意三点不共线,连接任意两点可以构成多少条线段

C.集合含有三个元素的子集有多少个

D.从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目,有多少种选法

解析:组合问题与顺序无关,排列问题与顺序有关.D选项中,选出的2名学生,如甲、乙,其中“甲参加独唱,乙参加独舞”与“乙参加独唱,甲参加独舞”是两个不同的选法,因此是排列问题,不是组合问题.

答案:D

规律总结

1.组合的特点是只选不排,即组合只是从个不同的元素中取出个不同的元素即可.

2.只要两个组合的元素完全相同,不管顺序如何,这两个组合就是相同的组合.

3.判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关,与顺序有关的是排列问题,与顺序无关的是组合问题.

变式式练1给出下列问题:

(1)从四名学生中选两名学生完成一件工作,有多少种不同的选法?

(2)从四名学生中选两名学生完成两道不同的题,一名学生完成一道题,有多少种不同的选法?

(3)a,b,c,d这四支足球队之间进行单循环比赛,共需进行比赛多少场?

(4)这四支足球队争夺冠、亚军,有多少种不同的结果?

在上述问题中,______是组合问题,______是排列问题.

答案:(1)(3)(2)(4)

解析:(1)选两名学生完成一件工作,这两名学生没有顺序,是组合问题.

(2)两名学生完成两道不同的题,一名学生完成一道题,有顺序,是排列问题.

(3)单循环比赛要求每两支球队之间