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《排列》同步学案

情境导入

教师节,某领导来到学校视察,听完一节课后与老师们座谈.有12位教师参加,面对领导坐成一排.

问:这12位教师的坐法共有多少种？

自主学习

自学导引

1.排列的定义

一般地,从个不同元素中取出个元素,并按照_____排成一列,叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列.

2.两个排列相同的充要条件

(1)两个排列的_____完全相同;

(2)元素的排列_____也相同.

答案

1.一定的顺序

2.(1)元素(2)顺序

预习测评

1.给出下列问题:

①10本不同的书分给10名同学,每人一本,有多少种情况？

②10位同学两两互通一次电话,有多少种情况？

③10位同学两两互写一封信,有多少种情况？

④平面上有10个点,其中任意三个点不共线,则这10个点中任取两点所构成的线段,有多少种情况？

其中是排列问题的个数是()

A.1

B.2

C.3

D.4

2.给出下列问题:

①从10名学生中选2名学生开会,有多少种情况？

②从班上30名学生中选出6人,分别担任6科课代表,有多少种情况？

③从数字5,6,7,8中任取两个不同的数做幂运算,有多少种情况？

其中是排列问题的是()

A.①

B.②

C.③

D.②③

3.甲、乙、丙三名同学排成一排,不同的排列方法有()

A.3种

B.4种

C.6种

D.12种

4.一位老师要给4个班上课,每个班都要上1节,给4个班上课的顺序有_____种.

答案

1.B

解析:由排列的定义可知①③是排列,②④不是排列.

2.D

解析:①中无顺序:②中6人担任不同科课代表,有顺序;③中幂由底数和指数组成,存在顺序.

3.C

解析:可以看成从3名同学中选出3名同学,按照一定顺序排成一列,排列方法种数为3×2×1=6.

4.24

解析:可以看成从4个班中选出4个班按照一定顺序排成一列,排列方法种数为4×3×2×1=24.

新知探究

探究点1排列的概念

知识详解

1.排列的定义

一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列

注意:定义中的n个元素是互不相同的,且抽取的m个元素是从n个元素中不重复地抽取的,因而这m个元素也是互不相同的.在研究排列问题时,是从一些不同元素中任取部分(或全部)不同元素,既没有重复元素,又没有重复抽取同一元素的情况

2.两个排列相同的充要条件:①元素完全相同;②元素的排列顺序也相同.

注意:元素不同或元素的顺序不同的排列都是不同的排列,当且仅当两个排列的元素和元素的排列顺序都相同时,这两个排列才是相同的排列.

典例探究

例1判断下列问题是否是排列问题.

(1)从10个小组中,选2个小组分别去植树和种菜,有多少种情况?

(2)从10个小组中,选2个小组去种菜,有多少种情况?

(3)从班上30人中,选10人组成一个学习小组,有多少种情况?

(4)从班上30人中,选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员,有多少种情况?

解析:判断是否为排列问题关键是选出的元素在被安排时,是否与顺序有关.若与顺序有关,就是排列问题,否则就不是排列问题.

答案:(1)植树和种菜是不同的,存在顺序,是排列问题.(2)与(3)不存在顺序问题,不是排列问题.(4)中每个人的职务不同,例如甲当班长或当学习委员是不同的,存在顺序,是排列问题.

所以在上述各题中,(1)(4)是排列问题,(2)(3)不是排列问题.

方法归纳:

1.解决本题的关键有两点:一是“取出的元素不重复”,二是“与顺序有关”.

2.判断一个具体问题是否为排列问题,就看取出元素后是否按照一定的顺序排成一列,而检验它是否有顺序的依据就是变换元素的“位置”(这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定),看其结果是否有变化,有变化就是排列问题,无变化就不是排列问题.

变式训练1判断下列问题是否是排列问题.

(1)同宿舍4人,每两人互通一封信,问他们一共写了多少封信?

(2)同宿舍4人,每两人通一次电话,问他们一共通了几次电话?

答案:(1)是一个排列问题,相当于从4个人中任取2个人,并且按顺序排好.有多少个排列就有多少封信,共有封信.

(2)不是排列问题,“通电话”不存在顺序,甲与乙通了电话,也就是乙与甲通了电话.

探究点2排列的简单应用

知识详解

解决简单的排列问题的策略:

(1)明确要研究的元素是什么,有无顺序,

(2)在处理问题时,明确是需要分类完成还是需要分步完成.

(3)在解决元素个数不多的问题时,画树状图是一种有效的方法.

典例探究

写出:

(1)从1,2,3,4这4个数字中任