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《组合》教学设计

一、概念的引入

问题1:从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动,有多少种不同的选法?这一问题与6.2.1节中的问题1“从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动,其中1名同学参加上午的活动,另1名同学参加下午的活动,有几种不同的选法?”有什么联系与区别?

师生活动:

教师提出问题,学生思考辨析、讨论交流.

让学生充分讨论交流后,找几名代表分享讨论结果.

本节问题1中的所有选法有3种情况:甲乙,甲丙,乙丙.选法与顺序无关.

6.2.1节问题1中的所有选法有6种情况:甲乙,乙甲,甲丙,丙甲,乙丙,丙乙.选法与顺序有关.

设计意图:通过对这两个问题的辨析,让学生理解这两类问题的本质区别,为引入组合的概念奠定基础.

二、概念的形成

问题节中的问题1可归结为“从3个不同的元素中任意取出2个,并按一定的顺序排成一列,共有多少种不同的排列方法?”类似地,应该如何表述本节问题1呢?

本节问题1可表述为“从3个不同元素中取出2个元素作为一组,一共有多少个不同的组?”

追问:6.2.1节中的问题1和问题2可推广为一般形式“从个不同元素中取出个元素,并按照一定的顺序排成一列,共有多少种不同的排列方法?”类似地,应该如何将本节问题1推广到一般情形呢?

学生思考讨论.

在问题2的基础上,给出组合的定义:一般地,从个不同元素中取出个元素作为一组,叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合.

设计意图:通过类比排列定义的得出过程,归纳得出组合的定义,让学生体会类比与归纳在抽象数学概念中的作用,提升学生的数学抽象核心素养.

问题3:“从个不同元素中取出个元素的一个组合”与“从个不同元素中取出个元素的一个排列”的联系与区别分别是什么?

教师指定学生回答,然后评价指导.

联系:从排列与组合的定义可以知道,两者都是从个不同元素中取出个元素.

区别:排列与元素的顺序有关,组合与元素的顺序无关.

只有元素相同且顺序相同的两个排列才是相同的;而两个组合只要元素相同,不论元素的顺序如何,都是相同的.

追问:为了打赢疫情防控阻击战,某医院呼吸科要从3名男医生和2名女医生中选派3人,参加疫情防控工作.下面的问题是排列问题,还是组合问题?

(1)从中选3人,有多少种不同的选法?

(2)从中选3人,到三地参加疫情防控工作,有多少种不同的选法?

师生活动:

教师引导学生根据排列、组合的定义,抓住是否有“顺序”这个关键点解决问题.

显然(1)与顺序无关,是组合问题;(2)与顺序有关,是排列问题.

在教学中,还可以让学生举出不同的具体实例,并说明这些例子是否属于组合问题,通过这些实例增强对组合概念的认识.

举例:下列问题中属于组合问题的是_________.

(1)从4名志愿者中选出2名分别参加导游和翻译的工作,有多少种选法?

(2)从4名志愿者中选出2名参加导游工作,有多少种选法?

(3)从这5个数字中选取3个不同的数字,组成一个三位数,这样的三位数有多少个?

(4)从全班同学中选出3名同学出席学校运动会开幕式,有多少种选法?

(5)从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员,有多少种选法?

(6)从5本不同的书中选出3本给甲、乙、丙三人,有多少种选法?

(7)从班上50名同学中选出4名参加辩论赛,有多少种选法?

(8)从1000名学生中选出4人参加一项创新大赛,有多少种选法?

答案:(2)(4)(7)(8)属于组合问题.

教师让学生举出更多的例子并进行分析.

设计意图:通过列举具体的实例,让学生利用排列与组合的定义进行辨析,加深对这两个概念的理解,提升学生的数学建模核心素养.

三、应用举例

例平面内有共4个点.

(1)以其中2个点为端点的有向线段共有多少条?

(2)以其中2个点为端点的线段共有多少条?

教师针对上述例题,提出以下问题:

在题目(1)中要完成的“一件事情”是什么?

在题目(2)中要完成的“一件事情”是否与“顺序”有关?

提示:(1)确定一条有向线段,不仅要确定两个端点,还要考虑它们的顺序,是排列问题;

(2)确定一条线段,只需确定两个端点,而不需考虑它们的顺序,是组合问题.

解:(1)一条有向线段的两个端点要分起点和终点,以平面内4个点中的2个为端点的有向线段的条数,就是从4个不同元素中取出2个元素的排列数,即有向线段条数为.

这12条有向线段分别为,.

(2)由于不考虑两个端点的顺序,因此将(1)中端点相同、方向不同的2条有向线段作为一条线段,就是以平面内4个点中的2个点为端点的线段的条数,共有如下6条:.

设计意图:让学生区分有向