第32练 抛物线中的定点、定值【大题满分分层训练】-2024年一轮复习之解析几何篇(原卷版)_1.docxVIP

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第32练抛物线中的定点、定值

【基础练】

1.(2023·全国·高二专题练习)已知抛物线:的焦点为,为上一点,为准线上一点,,

(1)求的方程;

(2),,是上的三点,若,求点到直线距离的最大值.

2.(2023·河南开封·校考模拟预测)在平面直角坐标系xOy中,抛物线E:上一点到焦点F的距离.不经过点S的直线l与E交于A,B.

(1)求抛物线E的标准方程;

(2)若直线AS,BS的斜率之和为2,证明:直线l过定点.

3.(2023·北京·统考模拟预测)如图所示,过原点O作两条互相垂直的线OA,OB分别交抛物线于A,B两点,连接AB,交y轴于点P.

(1)求点P的坐标;

(2)证明:存在相异于点P的定点T,使得恒成立,请求出点T的坐标,并求出面积的最小值.

4.(2023·全国·高三专题练习)已知直线与抛物线交于,两点,且

(1)求的方程

(2)若直线与交于两点,点与点关于轴对称,试问直线是否过定点?若过定点,求定点的坐标;若不过定点,说明理由

5.(2023·安徽滁州·校考模拟预测)已知抛物线的焦点为F,直线交抛物线E于A,B两点,当直线过点F时,点A,B到E的准线的距离之和为12,线段AB的中点到y轴的距离是4.

(1)求抛物线E的方程;

(2)当时,设线段AB的中点为M,在x轴上是否存在点N,使得为定值?若存在,求出该定值;若不存在,说明理由.

6.(2023·全国·高三专题练习)设抛物线,过轴上点的直线与相切于点,且当的斜率为时,.

(1)求的方程;

(2)过且垂直于的直线交于两点,若为线段的中点,证明:直线过定点.

7.(2023春·上海奉贤·高二校考阶段练习)已知抛物线的焦点为F,准线为l;

(1)若F为双曲线的一个焦点,求双曲线C的离心率e;

(2)设l与x轴的交点为E,点P在第一象限,且在上,若,求直线EP的方程;

(3)经过点F且斜率为的直线l与相交于A,B两点,O为坐标原点,直线分别与l相交于点M,N;试探究:以线段MN为直径的圆C是否过定点;若是,求出定点的坐标;若不是,说明理由;

8.(2023秋·四川成都·高三校考开学考试)设抛物线的焦点为,点,过的直线交于,两点.当直线垂直于轴时,.

(1)求的方程;

(2)在轴上是否存在一定点,使得_________?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.

从①点关于轴的对称点与,三点共线;②轴平分这两个条件中选一个,补充在题目中“__________”处并作答.

注:如果选择两个条件分别解答,则按第一个解答计分.

9.(2023·全国·模拟预测)已知抛物线的焦点为F,过点F作垂直于x轴的直线与抛物线C交于M,N两点,(O为坐标原点)的面积为.

(1)求抛物线C的方程;

(2)过点P(2,0)的直线l与抛物线C交于A,B两点,x轴上是否存在点Q,使得直线AQ的斜率与直线BQ的斜率满足,若存在,求出点Q坐标;若不存在,说明理由.

10.(2023·江西吉安·江西省万安中学校考一模)设抛物线的焦点为,动直线与抛物线交于,两点,且当时,.

(1)求抛物线的方程;

(2)连接,并延长分别交抛物线于两点,,设直线的斜率为,直线的斜率为,求证:是定值,并求出该值.

【提升练】

11.(2023春·湖南郴州·高二校考阶段练习)设抛物线的焦点为F,点在抛物线C上,(其中O为坐标原点)的面积为4.

(1)求a;

(2)若直线l与抛物线C交于异于点P的A,B两点,且直线PA,PB的斜率之和为,证明:直线l过定点,并求出此定点坐标.

12.(2023·吉林四平·四平市实验中学校考模拟预测)已知抛物线过点,抛物线C的准线与x轴的交点为B,且.

(1)求抛物线C的标准方程;

(2)过点B的直线与抛物线C交于E,F两点(异于点A),若直线分别交准线于点,求的值.

13.(2023·江苏南京·模拟预测)在平面直角坐标系xOy中,抛物线.,为C上两点,且,分别在第一、四象限.直线与x正半轴交于,与y负半轴交于.

(1)若,求横坐标的取值范围;

(2)记的重心为G,直线,的斜率分别为,,且.若,证明:λ为定值.

14.(2023·全国·高三专题练习)已知动圆过定点,且与直线相切.

(1)求动圆圆心的轨迹的方程;

(2)过点且斜率为的两条直线分别交曲线于点,点分别是线段的中点,若,求点到直线的距离的最大值.

15.(2023·广西桂林·统考模拟预测)已知抛物线上一点,焦点为F.

(1)求的值;

(2)已知A,B为抛物线上异于P点的不同两个动点,且,过点P作直线AB的垂线,垂足为C,求C点的轨迹方程.

16.(2023·全国·高二专题练习)已知抛物线:的焦点为.

????

(1)求抛物线的标准方程;

(2)抛物线在轴上方一点的横坐标为,过点作两条倾斜角互补的直线,与曲线的另一个交点分别为,,求

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