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阿坝师范学院《实变函数》2023-2024学年期末模拟试卷

学校：__________姓名：__________班级：__________考号：__________

一、单项选择题

1．设｛fn(x)｝是在ERp上一列非负可测函数，则I1=，则有()。

A.I1I2 B.I1=I2

C.I1I2 D.I1≤I2

2．设f(x)在E上可测，则E［f=∞］是()

A.可测集 B.不可测集

C.空集 D.无法判定

3．有限个可数集的并集是（）.

A.有限集 B.可数集

C.不可数集 D.无法确定

4．设{}是一列闭集，F=，则F一定是（）.

A.开集 B.闭集

C.开集，也是闭集 D.不能确定

5．设｛n(x)｝是简单函数列，存在，则是（）。

A.简单函数 B.连续函数

C.可测函数 D.Lebesgue可积函数

6．设f(x)是E上的可测函数，，下述哪个说法成立？（）

A．mE［|f|=0］＝0 B．mE［|f|=∞］＝0

C．mE［|f|=0］＝1 D．无法判定

7．设为［a,b］上的有界变差函数，则关于f(x)的叙述不正确的是()

A.在［a,b］有界 B.可以表示为两个增函数之差

C.在［a,b］存在 D.在［a,b］可积

8．设I=(0,1)，R是实数集，则它们的基数之间的关系是()

A. B.

C. D.不能判定

9．设f(x)在闭集ERn有定义，则f(x)的不连续点一定可以表示为()

A.开集 B.闭集

C.Fσ型集 D.Gδ型集

10．设Q1是由某些有理数组成的无限集，D是有理系数多项式的全体，L是由所有有理系数多项式的所有零点组成的集合，则

A. B.

C.= D.

二、判断题

11．整系数多项式的全体成一个不可数集．（）

12．定义在测度有限的可测集E上的可测函数不一定Lesbegue可积．（）

13．开集一定是博雷尔（Borel）集.()

14．外测度为零的集是可测集.（）

15．在无限集中，可数集有最小基数.()

16．两个不可测集的交集是不可测集.（）

17．有界变差函数a.e可导.()

18．有界变差函数的导函数a.e存在.()

19．Dirichlet函数是不可测函数.()

20．设M是可数集Q的所有子集构成的集合，则M是可数集.

三、填空题

21．A∪()=_________________.

22．设f(x)是E上的可测函数，则E［|f|=+∞］是_____________.

23．函数f(x)在区间［a,b］上的黎曼可积的充要条件是___________.

24．若E与它的真子集对等，则E一定是无限集吗？（只需填“是”或“否”即可）

答：________________.

25．设f(x)=，则f(x)dx=___________.

26．设h(x)与g(x)是E上两个非负实函数，它们分别是某个实函数的正部与负部的充分必要条件是_________.

27．y=f(x)在ERn有定义，f+(x)与f-(x)分别是f(x)的正部与负部,则f+(x)+f－(x)=______.

28．集合An(n=1,2,…)是集合S的子集,则CS()=______.

29．设是可测集E上一列非负可测函数，且，

，则它们的大小关系是______.

30．设E是[0,1]中的全部有理点,则E在R2的边界E=_________.

四、综合题

31．设f(x)在［a-ε0,b+ε0］上可积，证明：．

32．证明:f(x)在点集E上可测的充要条件是对任意有理数r,集E［fr］可测;若E［f=r］可测,问f(x)是否可测.

33．规定在长度为的康托尔集P的余区间上f(x)=，在康托尔集P上f(x)=2，计算的值.

34．设f为定义在［－1,1］上的可导函数，试证明f′(sinx)是(－∞,+∞)上的可测函数。