考点04幂函数、指数函数、对数函数（9种题型4个易错考点）（解析版）_1.docxVIP

考点04幂函数、指数函数、对数函数（9种题型4个易错考点）

【课程安排细目表】

真题抢先刷，考向提前知

二、考点清单

三、题型方法

四、易错分析

五、刷好题

六.刷压轴

一、

一、真题抢先刷，考向提前知

一．选择题（共1小题）

1．（2021?上海）下列函数中，在定义域内存在反函数的是（）

A．f（x）＝x2 B．f（x）＝sinx C．f（x）＝2x D．f（x）＝1

【分析】根据反函数的定义以及映射的定义即可判断选项是否正确．

【解答】解：选项A：因为函数是二次函数，属于二对一的映射，

根据函数的定义可得函数不存在反函数，A错误，

选项B：因为函数是三角函数，有周期性和对称性，属于多对一的映射，

根据函数的定义可得函数不存在反函数，B错误，

选项C：因为函数的单调递增的指数函数，属于一一映射，所以函数存在反函数，C正确，

选项D：因为函数是常数函数，属于多对一的映射，所以函数不存在反函数，D错误，

故选：C．

【点评】本题考查了反函数的定义以及映射的定义，考查了学生对函数以及映射概念的理解，属于基础题．

二．填空题（共5小题）

2．（2021?上海）若方程组无解，则＝0．

【分析】利用二元一次方程组的解的行列式表示进行分析即可得到答案．

【解答】解：对于方程组，有，

根据题意，方程组无解，

所以D＝0，即，

故答案为：0．

【点评】本题考查的是二元一次方程组的解行列式表示法，这种方法可以使得方程组的解与对应系数之间的关系表示的更为清晰，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解行列式表示法中对应的公式．

3．（2021?上海）已知f（x）＝+2，则f﹣1（1）＝﹣3．

【分析】利用反函数的定义，得到f（x）＝1，求解x的值即可．

【解答】解：因为f（x）＝+2，

令f（x）＝1，即+2＝1，解得x＝﹣3，

故f﹣1（1）＝﹣3．

故答案为：﹣3．

【点评】本题考查了反函数定义的理解和应用，解题的关键是掌握原函数的定义域即为反函数的值域，考查了运算能力，属于基础题．

4．（2020?上海）已知函数f（x）＝x3，f﹣1（x）是f（x）的反函数，则f﹣1（x）＝x，x∈R．

【分析】由已知求解x，然后把x与y互换即可求得原函数的反函数．

【解答】解：由y＝f（x）＝x3，得x＝，

把x与y互换，可得f（x）＝x3的反函数为f﹣1（x）＝．

故答案为：．

【点评】本题考查函数的反函数的求法，注意反函数的定义域是原函数的值域，是基础题．

5．（2020?上海）已知f（x）＝，其反函数为f﹣1（x），若f﹣1（x）﹣a＝f（x+a）有实数根，则a的取值范围为[，+∞）．

【分析】因为y＝f﹣1（x）﹣a与y＝f（x+a）互为反函数若y＝f﹣1（x）﹣a与y＝f（x+a）有实数根?y＝f（x+a）与y＝x有交点?方程，有根．进而得出答案．

【解答】解：因为y＝f﹣1（x）﹣a与y＝f（x+a）互为反函数，

若y＝f﹣1（x）﹣a与y＝f（x+a）有实数根，

则y＝f（x+a）与y＝x有交点，

所以，

即a＝x2﹣x+1＝（x﹣）2+≥，

故答案为：[，+∞）．

【点评】本题主要考查函数的性质，函数与方程的关系，属于中档题．

6．（2022?上海）设函数f（x）＝x3的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（27）＝3．

【分析】直接利用反函数的定义求出函数的关系式，进一步求出函数的值．

【解答】解：函数f（x）＝x3的反函数为f﹣1（x），

整理得；

所以f﹣1（27）＝3．

故答案为：3．

【点评】本题考查的知识要点：反函数的定义和性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．

二、考点清单

二、考点清单

一．幂函数的概念、解析式、定义域、值域

幂函数的定义：一般地，函数y＝xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．

解析式：y＝xa＝

定义域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：

1．如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；

2．如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数．

当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：

1．在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数．

2．在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数．

而只有a为正数，0才进入函数的值域．

由于x大于0是对a的任意取值都有意义的．

二．幂函数的图象

三．幂函数的性质

所有的幂函数在（0，+∞）上都有各自的定义，并且图象都过点（1，1）．

（1）当a＞0时，幂函数y＝xa有下列性质：

a、图象都通过点（1，1）（0，0）；

b、在第一象限内，函数值随x的增大而增大；

c、在第一象限内，a＞1时，图象