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正态分布和幂律分布

也称“常态分布”或“高斯分布”，是连续随机变量概率分布的一种，

常常应用于质量管理控制：为了控制实验中的测量或实际误差，常以作为

上、下警戒值，以作为上、下控制值，这样做的依据是：正常情况下测量

或实验误差服从正态分布。

并不是所有随机事件都满足正态分布。想要学会判断什么样的事件满

足正态分布，必须有一点数学感，需要了解“中心极限定理”。中心极限

定理说，如果一个事件满足下面这些条件，它的分布就是正态分布—。

第一，它是由多个——至少20个——随机变量*相加*的结果；

第二，这众多的随机变量是互相“独立”的；

第三，每个随机变量的方差都只有有限大；

第四，每个随机变量对结果都要有一定的贡献，否则如果只是其中几

个起到决定性的作用，那也不能算“多”。

简单地说，关键要求有两个：“相加”和“独立”——凡是多个独立

随机变量相加的事件，结果就会是正态分布。

生物学家认为人的身高是由至少180个基因共同决定的。有的决定你

的小腿有多长，有的决定你的脖子有多长——而你的身高，是所有这些因

素相加之和。作为一个很好的近似，决定身高的各个基因是比较互相独立

的。所以身高满足正态分布。

正态分布能给人充分的掌控感。每个案例相差都不会很大，通常翻不

了天。

正态分布示意图

回到正态分布的两个条件，独立和相加。（凡是多个独立随机变量相

加的事件，结果就会是正态分布。）如果局面不满足这两个条件，结果会

是怎样的呢？那就得做好准备迎接极端事件了。

对数正态分布

如果一个事件的结果不是由独立随机事件相加、而是由相乘决定的，

它的分布将是“对数正态分布”。这个分布的形状就不是对称的钟形了，

而是像下面这样—。

对数正态分布示意图

举例：

公司年底涨工资。因为A这一年业绩更突出，所以涨薪20%，B表现

一般，所以B没有涨薪。如果A原来薪资就比B高，那两者的差距会越来

越大；如果原来A没有B高，那涨薪后两者的差距会缩小。但是前者的增

加比后者的缩小要大，所以整体来说大家的薪资差距是拉大了。这个我们

就把它叫做对数正态分布。

但是请注意，以上例子仍然假设每个随机变量的作用是互相独立的—

—即AB今年能做出更好的业绩，跟他去年的工资没关系。而如果我们认

为员工工资代表了能力，那么工资越高的人就越有可能做出好业绩，那结

果就不会是对数正态分布了，而是比这还要容易出极端事件的“幂率分

布”。

幂率分布

幂率分布的“长尾”，比对数正态分布更长—。

PowerLawDistribution

这意味着幂率分布中会有大量的极端事件。

幂率分布是*不独立*的随机变量作用的结果。科学家找到了很多个能

带来幂率分布的模型，咱们这里说其中最常见的两个。

第一个模型是“马太效应”。比如你去书店买书，那么多本书选哪本

呢？你会优先关注那些上了排行榜的“畅销书”。这是人之常情，但是这

对那些没上榜的书是不公平的——这等于说越畅销的书就会越容易被关注，

而越容易被关注就让它进一步更畅销。这就成了一个富者愈富的局面。幂

率分布使得图书市场中会出现少量特别畅销的书，而绝大多数书的销售成

绩都很差。而这一切都是因为你做决定的时候是在模仿别人。你看到别人

都买这本书，所以你才关注它。你的买书行为不是独立的。

另外，如一个城市的GDP。GDP越高，表明经济发展越好，那就能吸

引越多人才，人才越多，经济发展商业创新也会越多，城市能发展越好，

表现在GDP上也越高。

另一种幂率分布模型来自于复杂系统的“自组织”现象。实际上，幂

率分布广泛存在于物理学、地球与行星科学、计算机科学、生物学、生态

学、人口统计学与社会科学、经济与金融学等众多领域中，且表现形式多

种多样。在自然界与日常生活中，包括地震规模大小的分布（古登堡-里

希特定律）、月球表面上月坑直径的分布、行星间碎片大小的分布、太阳

耀斑强度的分布、人类语言中单词频率的分布、大多数国家姓氏的分布、

科学家撰写论文数的分布、论文被应用的次数分布、网页被点击次数的分

布、书籍及唱片的销售册数或张数的分布、每类生物中物种数的分布、深

圳电影所获得奥斯卡奖项的分布等，都是典型的幂率分布。

总而言之，如果这个事件代表多个独立随机变量之和，它就满足正态

分布，你不用担