2025版高考数学一轮总复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第4节古典概型与几何概型学案含解析.docVIP

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古典概型与几何概型

[考试要求]

1.理解古典概型及其概率计算公式.

2.会计算一些随机事务所包含的基本领件数及事务发生的概率.

3.了解随机数的意义，能运用随机模拟的方法估计概率.

4.了解几何概型的意义．

1．基本领件的特点

(1)任何两个基本领件是互斥的．

(2)任何事务(除不行能事务)都可以表示成基本领件的和．

2．古典概型的特点

eq\x(有限性)—eq\x(试验中全部可能出现的基本领件只有有限个)

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eq\x(等可能性)—eq\x(每个基本领件出现的可能性相等)

3．古典概型的概率计算公式

P(A)＝eq\f(A包含的基本领件的个数,基本领件的总数).

4．几何概型的定义

假如每个事务发生的概率只与构成该事务区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．

5．几何概型的两个基本特点

eq\x(无限性)—eq\x(试验中全部可能出现的基本领件有无限个)

|

eq\x(等可能性)—eq\x(每个基本领件出现的可能性相等)

6．几何概型的概率公式

P(A)＝eq\f(构成事务A的区域长度?面积或体积?,试验的全部结果所构成的区域长度?面积或体积?).

一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)随机模拟方法是以事务发生的频率估计概率．()

(2)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是eq\f(1,10).()

(3)概率为0的事务肯定是不行能事务．()

(4)从市场上出售的标准为500±5g的袋装食盐中任取一袋测其重量，属于古典概型．()

[答案](1)√(2)×(3)×(4)×

二、教材习题衍生

1．一枚硬币连掷2次，只有一次出现正面的概率为()

A．eq\f(2,3) B．eq\f(1,4)

C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,2)

D[一枚硬币连掷2次可能出现(正，正)、(反，反)、(正，反)、(反，正)四种状况，只有一次出现正面的状况有两种，故P＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2).]

2．某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过2分钟的概率是()

A．eq\f(3,5) B．eq\f(4,5)

C．eq\f(2,5) D．eq\f(1,5)

C[试验的全部结果构成的区域长度为5，所求事务的区域长度为2，故所求概率为P＝eq\f(2,5).]

3．袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为()

A．eq\f(2,5) B．eq\f(4,15)

C．eq\f(3,5) D．eq\f(2,3)

A[从袋中任取一球，有15种取法，其中取到白球的取法有6种，则所求概率为P＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).]

4．同时掷两个骰子，向上点数不相同的概率为________．

eq\f(5,6)[掷两个骰子一次，向上的点数共6×6＝36(种)可能的结果，其中点数相同的结果共有6种，所以点数不相同的概率P＝1－eq\f(6,36)＝eq\f(5,6).]

考点一简洁的古典概型

用公式法求古典概型的概率就是用所求事务A所含的基本领件个数除以基本领件空间Ω所含的基本领件个数求解事务A发生的概率P(A)．解题的关键如下：

①定型，即依据古典概型的特点——有限性与等可能性，确定所求概率模型为古典概型．

②求量，利用列举法、排列组合等方法求出基本领件空间Ω及事务A所含的基本领件数．

③求值，代入公式P(A)＝eq\f(A包含的基本领件的个数,基本领件的总数)求值．

[典例1](1)甲在微信群中发布6元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完．若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“手气最佳”(即乙领取的钱数不少于其他任何人)的概率是()

A.eq\f(3,4) B.eq\f(1,3)

C.eq\f(3,10) D.eq\f(2,5)

(2)(2024·全国统一考试模拟演练)在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为()

A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)

C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)

(3)(2024·全国卷Ⅰ)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的改变．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在全部重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是()

A.eq\f(5,16) B.eq