2025版高考数学一轮复习核心素养测评四十七9.5平行垂直的综合问题文含解析北师大版.docVIP

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核心素养测评四十七平行、垂直的综合问题

(30分钟60分)

一、选择题(每小题5分,共25分)

1.已知线段AB在平面α外,A,B两点到平面α的距离分别为3和5,则线段AB的中点到平面α的距离为 ()

A.1 B.4 C.1或4 D.4或

【解析】选C.当A,B在平面α同侧时,距离为3+52=4,当A,B在α异侧时,距离为5

2.边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,则折叠后AC的长为 ()

A.2a B.22a C.32a

【解析】选D.如图所示:取BD的中点O,连接A′O,CO,则∠A′OC是二面角A′-BD-C的平面角.即∠A′OC=90°,又A′O=CO=22

所以A′C=a22+a22=a,

3.如图所示,O为正方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD的中心,则下列直线中与B1O垂直的是

A.A1D B.AA1

C.A1D1 D.A1C

【解析】选D.易知AC⊥平面BB1D1D.

因为A1C1∥AC,所以A1C1⊥平面BB1D

又B1O平面BB1D1D,所以A1C1⊥B1O.

4.如图,三棱锥A-BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=60°,E,F分别是AC,AD上的动点,且AEAC=AFAD=λ(0λ1).下面说法正确的是 (

A.当λ≠12时,平面BEF⊥平面

B.当λ≠13时,平面BEF⊥平面

C.当λ=67时,平面BEF⊥平面

D.当λ=17时,平面BEF⊥平面

【解析】选C.因为AB⊥平面BCD,所以AB⊥CD.

因为CD⊥BC,且AB∩BC=B,AB?平面ABC,BC?平面ABC,所以CD⊥平面ABC.

又因为AEAC=AFAD=λ(0λ1),所以不论λ为何值,恒有EF∥CD.所以EF⊥平面ABC,EF平面

所以不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC.

若平面BEF⊥平面ACD,因为BE⊥EF,所以BE⊥平面ACD.所以BE⊥AC.

因为BC=CD=1,∠BCD=90°,∠ABD=90°,∠ADB=60°,所以BD=2,AB=

2tan60°=6.

所以AC=AB2+BC2=7.由AB2=AE·AC,得AE=67

故当λ=67时,平面BEF⊥平面

5.已知矩形ABCD,AB=1,BC=2,将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中 世纪金榜导学号()

A.存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直

B.存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直

C.存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直

D.对随意位置,三对直线“AC与BD”,“AB与CD”,“AD与BC”均不垂直

【解析】选B.找出图形在翻折过程中改变的量与不变的量.

对于选项A,过点A作AE⊥BD,垂足为E,过点C作CF⊥BD,垂足为F,

在图(1)中由边AB,BC不相等可知点E,F不重合.

在图(2)中,连接CE,若直线AC与直线BD垂直,

又因为AC∩AE=A,所以BD⊥面ACE,

所以BD⊥CE,与点E,F不重合相冲突,故A错误.

对于选项B,若AB⊥CD,

又因为AB⊥AD,AD∩CD=D,所以AB⊥面ADC,

所以AB⊥AC,由AB=1,BC=2,ABBC可知存在这样的等腰直角三角形,使得直线AB与直线CD垂直,故B正确.对于选项C,若AD⊥BC,

又因为DC⊥BC,AD∩DC=D,所以BC⊥面ADC,所以BC⊥AC.已知BC=2,AB=1,BCAB,所以不存在这样的直角三角形.所以C错误.

由上可知D错误.

二、填空题(每小题5分,共15分)

6.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是棱CC1,C1D1,D1D,DC的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则M满意条件时,有MN∥平面B1BDD1

【解析】如图,连接FH,HN,FN,

由题意知HN∥平面B1BDD1,FH∥平面B1BDD1.

且HN∩FH=H,所以平面NHF∥平面B1BDD1.

所以当M在线段HF上运动时,有MN∥平面B1BDD1.

答案:M∈线段HF

7.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,点F在线段AA1上,当AF=时,CF⊥平面B

【解析】由题意易知,B1D⊥平面ACC1A1,又CF平面ACC1A1,所以B1D⊥CF.要使CF⊥平面B1DF,只需CF⊥DF即可

令CF⊥DF,设AF=x,则A1F=3a

由Rt△CAF∽Rt△FA1D,得ACA1F=AFA1D,即2a3a-x=xa,整理得

答案:a或2a

8.在长方体ABCD-A1B1C1D1的A1C1面上有一点P(如图所示,其中