第二章-用拉格朗日方程建立----系统数学模型.pdf

第二章用拉格朗日方程建立系统的数学模型

§2.1概述

拉格朗日方程——属于能量法，推导中使用标量，直接对整个系统建

模

特点：列式简洁、考虑全面、建模容易、过程规范

适合于线性系统也适合于非线性系统，适合于保守系统，也适合于非

保守系统。

§2.2拉格朗日方程

1．哈密尔顿原理

系统总动能

（2－1）

系统总势能

（2－2）

非保守力的虚功

（2－3）

哈密尔顿原理的数学描述：

（2－4）

2．拉格朗日方程：

拉格朗日方程的表达式：

（2－5）

（推导：）

将系统总动能、总势能和非保守力的虚功的表达式代入哈密尔顿原

理式中（变分驻值原理），有

（2－6）

利用分步积分

（2－7）

并注意到端点不变分（端点变分为零）

（2－8）

故

（2－9）

从而有

（2－10）

由变分学原理的基本引理：

（设n维向量函数M(t)，在区间内处处连续，在内具有二阶连续导数，

在处为零，并对任意选取的n维向量函数，有

则在整个区间内，有）

我们可以得到：

（2－11）

即

（2－12）

对非保守系统，阻尼力是一种典型的非保守力，如果采用线性粘性

阻尼模型，则阻尼力与广义速度成正比，在这种情况下，可引入瑞利

耗散（耗能）函数D，

（2－13）

阻尼力产生的广义非保守力为：

（2－14）

对于仅受有势力和线性阻尼力作用的系统，其拉格朗日方程为：

（2－15）

如果系统上还作用了除有势力和阻尼力以外的非保守力，如结构受到

的外激励力（对应的广义非保守力可通过非保守力的虚功求得，仍记

为），则系统的拉格朗日方程为：

（2－16）

§2.3拉格朗日方程在振动系统建模中应用

在某些结构振动问题中，取分离体、确定各分离体的受力情况，

然后利用牛顿第二定律建立方程的方法不一定可用，或者很不方便，

这时，采用拉格朗日方程来建立振动