2025版高考数学一轮复习核心素养测评五十五10.8.1求曲线的方程文含解析北师大版.docVIP

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核心素养测评五十五求曲线的方程

1.设m∈R,在平面直角坐标系中,已知向量a=(mx,y+1),向量b=(x,y-1),a⊥b,动点M(x,y)的轨迹为E.

(1)求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形态.

(2)当m=14时,轨迹E与直线y=x-1交于A、B两点,求弦AB的长.

【解析】(1)因为a=(mx,y+1),b=(x,y-1),且a⊥b,

所以a·b=mx2+y2-1=0,即mx2+y2=1.

当m=0时,方程表示两直线,方程为y=±1;

当m=1时,方程表示的是圆x2+y2=1;

当m0且m≠1时,方程表示的是椭圆;

当m0时,方程表示的是双曲线.

(2)当m=14时,椭圆方程为x24

联立y=x-1,x24+y2=1,得5x2-8x=0,解得x1

不妨令A(0,-1),B85

则|AB|=85-0

2.在平面直角坐标系xOy中,已知三点O(0,0),A(-1,1),B(1,1),曲线C上随意一点M(x,y)满意:|MA+MB|=4-12OM·(OA+OB

(1)求曲线C的方程.

(2)设点P是曲线C上的随意一点,过原点的直线l与曲线相交于M,N两点,若直线PM,PN的斜率都存在,并记为kPM,kPN,摸索究kPM·kPN的值是否与点P及直线l有关,并证明你的结论.

【解析】(1)由已知,A(-1,1),B(1,1),M(x,y),

所以MA+MB=(-1-x,1-y)+(1-x,1-y)

=(-2x,2-2y),|MA+MB|=(-2x)

又因为|MA+MB|=4-12OM·(OA+

4-12OM·(OA+OB)=4-12

所以4x

化简整理得x23+y24=1,

(2)因为过原点的直线l与椭圆相交的两点M,N关于坐标原点对称,可设P(x,y),M(x0,y0),N(-x0,-y0).

因为P,M,N在椭圆上,所以x23+

x023+y024

又因为kPM=y-y0x-

所以kPM·kPN=y-y0x-x0

所以,kPM·kPN的值恒等于-43,与点P的位置和直线l的位置无关