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热点专题五卫星运动的“两个热点”问题
【专题解读】1.本专题是万有引力定律在卫星运行中的基本运用,卫星运行参量的分析;卫星变轨中运行参量及能量变化的分析,是近年来各省市高考命题的热点,以选择题形式在高考题中出现,题目比较简单。2.学好本专题有助于学生更加灵活地应用万有引力定律,加深对力和运动关系的理解。3.需要用到的知识:牛顿第二定律、万有引力定律、圆周运动规律等。
热点一卫星运行参量的分析
1.线速度:Geq\f(m中m,r2)=meq\f(v2,r)?v=eq\r(\f(Gm中,r))
2.角速度:Geq\f(m中m,r2)=mω2r?ω=eq\r(\f(Gm中,r3))
3.周期:Geq\f(m中m,r2)=meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)r?T=2πeq\r(\f(r3,Gm中))
4.向心加速度:Geq\f(m中m,r2)=ma?a=eq\f(Gm中,r2)
结论:r越大,v、ω、a越小,T越大。
【例1】2021年4月29日,中国空间站天和核心舱发射升空,准确进入预定轨道。根据任务安排,后续将发射问天实验舱和梦天实验舱,计划2022年完成空间站在轨建造。核心舱绕地球飞行的轨道可视为圆轨道,轨道离地面的高度约为地球半径的eq\f(1,16)。下列说法正确的是()
A.核心舱进入轨道后所受地球的万有引力大小约为它在地面时的eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,17)))eq\s\up12(2)倍
B.核心舱在轨道上飞行的速度大于7.9km/s
C.核心舱在轨道上飞行的周期大于24h
D.后续加挂实验舱后,空间站由于质量增大,轨道半径将变小
答案A
解析根据万有引力定律有F=Geq\f(m地m,r2),核心舱进入轨道后的万有引力与地面上万有引力之比为eq\f(F1,F2)=eq\f(R2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(R+\f(1,16)R)))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,17)))eq\s\up12(2),所以A正确;核心舱在轨道上飞行的速度小于7.9km/s,因为第一宇宙速度是最大的环绕速度,所以B错误;根据T=2πeq\r(\f(R3,Gm地)),可知轨道半径越大周期越大,则其周期比同步卫星的周期小,小于24h,所以C错误;卫星做圆周运动时万有引力提供向心力有Geq\f(m地m,r2)=meq\f(v2,r),解得v=eq\r(\f(Gm地,R)),则卫星的环绕速度与卫星的质量无关,所以变轨时需要点火减速或者点火加速,增加质量不会改变轨道半径,所以D错误。
【真题示例2】(2021·河北卷,4)“祝融号”火星车登陆火星之前,“天问一号”探测器沿椭圆形的停泊轨道绕火星飞行,其周期为2个火星日。假设某飞船沿圆轨道绕火星飞行,其周期也为2个火星日。已知一个火星日的时长约为一个地球日,火星质量约为地球质量的eq\f(1,10),则该飞船的轨道半径与地球同步卫星的轨道半径的比值约为()
A.eq\r(3,4) B.eq\r(3,\f(1,4)) C.eq\r(3,\f(5,2)) D.eq\r(3,\f(2,5))
答案D
解析由万有引力提供向心力有Geq\f(m中m,r2)=m(eq\f(2π,T))2r,解得r=eq\r(3,\f(Gm中T2,4π2)),所以飞船的轨道半径与地球同步卫星的轨道半径的比值eq\f(r1,r2)=eq\r(3,\f(m1Teq\o\al(2,1),m2Teq\o\al(2,2)))=eq\r(3,\f(1,10)×22)=eq\r(3,\f(2,5))。故A、B、C错误,D正确。
【针对训练1】甲、乙两颗人造卫星质量相等,均绕地球做圆周运动,甲的轨道半径是乙的2倍。下列应用公式进行的推论正确的有()
A.由v=eq\r(gR)可知,甲的速度是乙的eq\r(2)倍
B.由a=ω2r可知,甲的向心加速度是乙的2倍
C.由F=Geq\f(m地m,r2)可知,甲的向心力是乙的4倍
D.由eq\f(r2,T2)=k可知,甲的周期是乙的2eq\r(2)倍
答案D
解析卫星绕地球做圆周运动,万有引力提供向心力,则F向=eq\f(Gm地m,r2)=eq\f(mv2,r)=mω2r=meq\f(4π2,T2)r=ma,因为在不同轨道上g是不一样的,故不能根据v=eq\r(gR)得出甲乙速度的关系,卫星的运行线速度v=eq\r(\f(Gm地,r))代入数据可得eq\f(v甲,v乙)=eq
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