数学学案：第二章条件概率与独立事件.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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§3条件概率与独立事件

学习目标

重点难点

1。在具体情境中，了解条件概率的概念并能解决一些简单的实际问题．

2．能说出相互独立事件的意义，理解独立事件同时发生的概率乘法公式.

重点:条件概率、独立事件的概念．

难点：条件概率、独立事件的概率计算。

1．条件概率

（1)求已知B发生的条件下，A发生的概率，称为B发生时A发生的条件概率,记为P(A|B），P（A|B)＝eq\f(P(A∩B)，P(B））（其中，A∩B也可写成AB）．

(2)A发生时B发生的条件概率为P(B｜A)＝eq\f（P(AB)，P（A）).

预习交流1

任意向区间（0,1)上投掷一个点，用x表示该点的坐标，设事件A＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1（0x〈\f(1，2)）))）,B＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}（\a\vs4\al\co1（\f(1,4）x1）))），你能求出P(B|A)吗？

提示：P(B｜A）＝eq\f（P（AB)，P（A）)＝eq\f(\f（1，4）,\f(1,2)）＝eq\f（1，2）＝0。5。

2．独立事件

一般地,对两个事件A，B，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称A，B相互独立．可以证明,如果A,B相互独立，则A与eq\x\to(B)，eq\x\to(A)与B,eq\x\to(A）与eq\x\to（B）也相互独立．

预习交流2

若事件A与B相互独立,则P(AB）＝P(A)·P（B)，与P(AB）＝P(A|B）·P(B）矛盾吗?

提示:不矛盾,若事件A与B相互独立，则P（A｜B）＝P(A）．

1．条件概率

盒中装有5个产品，其中3个一等品，2个二等品，不放回地从中取产品，每次取1个．

求：(1）取两次，两次都取得一等品的概率;

（2）取两次，第二次取得一等品的概率；

（3)取两次，已知第二次取得一等品的条件下，第一次取得的是二等品的概率．

思路分析：由于是不放回地从中取产品，所以第二次抽取受到第一次的影响，因而是条件概率，应用条件概率中的乘法公式求解．

解：记Ai为第i次取到一等品,其中i＝1，2。

(1)取两次，两次都取得一等品的概率,

则P（A1A2)＝P（A1）·P（A2｜A1）＝eq\f（3,5)×eq\f（2，4）＝eq\f(3,10).

（2）取两次，第二次取得一等品的概率，即第一次有可能取到一等品,也可能取到二等品，

则P(A2）＝P（eq\x\to（A1)A2）＋P（A1A2）＝eq\f(2，5）×eq\f（3,4)＋eq\f(3,5)×eq\f(2，4）＝eq\f(3,5）.

(3）取两次，已知第二次取得一等品,

则第一次取得二等品的概率为P(eq\x\to（A1)|A2)＝eq\f(P(\x\to(A1)A2）,P(A2））＝eq\f(\f（2,5）×\f（3，4)，\f(3,5)）＝eq\f(1,2)。

甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12％，问

(1）乙地为雨天时，甲地为雨天的概率为多少？

（2)甲地为雨天时，乙地为雨天的概率为多少？

解：设A＝“甲地为雨天”,B＝“乙地为雨天”,

则根据题意有：

P(A）＝0。20，P(B）＝0.18，P（AB)＝0。12，因此，

（1）P(A｜B）＝eq\f（P(AB)，P（B）)＝eq\f（0。12,0。18)≈0。67;

(2)P(B|A）＝eq\f(P（AB）,P（A))＝eq\f(0.12，0。20）＝0.60。

即：乙地为雨天时，甲地为雨天的概率约为0.67，甲地为雨天时,乙地为雨天的概率为0。60.

条件概率的判断：当题目中出现“在……前提下(条件)等字眼时，一般为条件概率；题目中没有出现上述字眼,但已知事件的发生影响了所求事件的概率，一般也认为是条件概率．

2．独立事件

一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝｛一个家庭中既有男孩又有女孩},B＝{一个家庭中最多有一个女孩},对下述两种情形，讨论A与B的独立性．

（1)家庭中有两个小孩；

（2)家庭中有三个小孩．

思路分析：（1)先写出家庭中有两个小孩的所有可能情形，需注意基本事件（男,女)，(女，男）是不同的，然后分别求出A，B所含的基本事件数，由于生男生女具有等可能性，故可借助古典概型来求P（A)，P（B）及P(AB）的概率，最后分析P(AB)是否等于P(A)P(B)，(2)同(1）．

解：（1)有两个小孩的家庭,