数学学案：第三讲三平面与圆锥面的截线.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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三平面与圆锥面的截线

1．了解不平行于底面且不通过圆锥的顶点的平面截圆锥的形状是椭圆、抛物线、双曲线．

2．感受平面截圆锥的形状，并从理论上证明．

3．通过Dandelin双球探求双曲线的性质，理解这种证明问题的方法．

1．定理2

文字语言

如果用一个平面去截一个正圆锥（两边可以无限延伸）,而且这个平面不通过圆锥的顶点，会出现三种情况:

如果平面与一条母线平行,那么平面就只与正圆锥的一半相交，这时的交线是________；

如果平面不与母线平行,当平面只与圆锥的一半相交,这时的交线为________；当平面与圆锥的两个部分都相交,这时的交线叫做________

符号语言

在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于O点，夹角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面．任取平面π，若它与轴l的交角为β(当π与l平行时，记β＝0),则

（1)β＞α，平面π与圆锥的交线为____;

(2)β＝α，平面π与圆锥的交线为______；

(3)β＜α，平面π与圆锥的交线为______

图形语言

作用

确定交线的形状

①特别情况：，平面π与圆锥的交线为圆，如图所示．

②圆锥曲线的统一性，椭圆为封闭图形，双曲线、抛物线为不封闭图形，其图形不一样，但它们都可以用平面截对顶圆锥面得到，因此,圆、椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线．它们都满足曲线上的点到焦点的距离与到准线的距离之比为常数，即离心率e,定义上的统一，必然也蕴含着图形统一．

【做一做1】在圆锥内部嵌入Dandelin双球，一个位于平面π的上方，一个位于平面π的下方,并且与平面π及圆锥均相切,若平面π与双球的切点不重合，则平面π与圆锥面的截线是（）

A．圆B．椭圆

C．双曲线D．抛物线

2．圆锥曲线的结构特点

(1）椭圆上的点到两个定点(焦点)的距离之____为常数(长轴长2a)．

(2)双曲线上的点到两个定点（焦点)的距离之______为常数（2a)．

（3)抛物线上的点到一个定点(焦点）和一条定直线的距离______．

【做一做2】双曲线上任意一点到两个焦点的距离分别是d1和d2，则下列为常数的是()

A．d1－d2B．d1＋d2

C．｜d1－d2｜D．d2－d1

3．圆锥曲线的几何性质

(1)焦点:Dandelin球与平面π的____．

(2)准线：截面与Dandelin球和圆锥交线所在平面的____．

（3)离心率：e＝eq\f（cosβ,cosα)。

（4)圆锥曲线的几何性质

项目

椭圆

双曲线

抛物线

焦点

2个

2个

1个

准线

2条

2条

1条

离心率

e＝eq\f(cosβ,cosα）＜1

e＝eq\f(cosβ,cosα）＞1

1

焦距

F1F2＝2c

c2＝a2－b2

F1F2＝2c

c2＝a2＋b2

-

离心率

e＝eq\f(c,a）

e＝eq\f（c，a）

—

准线间距

eq\f（2a2，c）

eq\f(2a2，c）

—

曲线上的点到

焦点距离

PF1＋PF2＝2a

｜PF1－PF2｜＝2a

-

【做一做3－1】设截面和圆锥的轴的夹角为β,圆锥的母线和轴所成角为α，当截面是椭圆时，其离心率等于（）

A．eq\f（sinβ，sinα）B．eq\f（cosβ,cosα）C．eq\f(sinα，sinβ)D．eq\f(cosα,cosβ)

【做一做3－2】双曲线的焦距为4，实轴长为3，则离心率e＝__________。

答案:

1．抛物线椭圆双曲线(1）椭圆（2）抛物线（3)双曲线

【做一做1】B由于平面π与双球的切点不重合,则平面π与圆锥母线不平行，且只与圆锥的一半相交,则截线是椭圆．

2．（1）和(2)差的绝对值(3）相等

【做一做2】C

3．（1）切点(2)交线

【做一做3－1】B

【做一做3－2】eq\f（4,3）设双曲线的实轴长、虚轴长、焦距分别为2a，2b，2c，则2c＝4，2a＝3，于是c＝2，a＝eq\f(3,2)。故e＝eq\f（c，a）＝eq\f(4,3）。

在定理2中，当β＜α时，探究截线形状

剖析：如图，当β＜α时,平面π与圆锥面的两部分相交,在圆锥的两部分分别嵌入Dandelin球，与平面π的两个切点分别为F1，F2,与圆锥两部分截的圆分别为S1，S2。

在截口上任取一点P，连接PF1,PF2.过P和圆锥的顶点O作母线,分别与两球切于Q1，Q2，则PF1=PQ1，PF2=PQ2，所以｜PF1－PF2|=|PQ1－PQ2|=Q1Q2，所以Q1Q2是两圆S1,S2所在平行