数学学案：第三章不等式.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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教材习题点拨

巩固与提高

A组

1．解：（1)a2(a＋1)＋b2（b＋1)－［a（a2＋b）＋b(b2＋a）］＝a3＋a2＋b3＋b2－a3－ab－b3－ab＝a2－2ab＋b2＝（a－b)2。

∵a,b∈R，且a≠b，∴(a－b)2＞0。

∴a2（a＋1）＋b2（b＋1）＞a（a2＋b)＋b(b2＋a)．

（2）eq\f(a2－b2，a2＋b2)＝eq\f(a2－b2,（a＋b)2－2ab)，①

eq\f（a－b,a＋b)＝eq\f((a－b)(a＋b），(a＋b）（a＋b））＝eq\f（a2－b2,（a＋b）2)②

由①②可知，eq\f(a2－b2，a2＋b2)＞eq\f（a－b，a＋b）。

(3）（p2＋eq\r(2)p＋1)（p2－eq\r(2)p＋1)＝（p2＋1)2－2p2，①

（p2＋p＋1）(p2－p＋1）＝（p2＋1)2－p2,②

①－②≤0,故(p2＋eq\r(2)p＋1）（p2－eq\r（2)p＋1）≤(p2＋p＋1）（p2－p＋1）．

2．证明：(1)∵a＞b,∴a－c＞b－c。

又∵a＞c，b＞c，∴a－c＞0，b－c＞0，

∴eq\f（1，a－c）＜eq\f(1，b－c）.

（2）∵b＞c,∴－b＜－c.∴a－b＜a－c.∵a－b＞0，a－c＞0,∴（a－b）2＜（a－c）2.∴eq\f（1，（a－b)2)＞eq\f（1,（a－c)2)。

3．解：(1)令(x－1)（x＋a)＝0,则x＝1或x＝－a.当－a＜1时，x＞1或x＜－a；

当－a＝1时，x≠1；当－a＞1时,x＞－a或x＜1.

（2)Δ＝4a2－4。①当Δ≤0，即－1≤a≤1时，无解;②当Δ＞0,即a＜－1或a＞1时，解集为｛x｜a－eq\r（a2－1）＜x＜a＋eq\r(a2－1）}．

(3)22x－2x＋1－3＝（2x）2－2·2x－3＝(2x－3)（2x＋1)＜0，

∴－1＜2x＜3.∴x＜log23。

(4)原式＝（2lgx＋1）（lgx－1)＞0，

∴lgx＜－eq\f（1，2）或lgx＞1,得0＜x＜eq\f(\r(10），10）或x＞10。

4．解：（1）当m＋1＝0时,原不等式等价于2x＋1＜0，不符合题意．

(2）当m＋1≠0时，由题意得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（m＋1＞0，，Δ＝（2m)2－4m（m＋1）＜0，）)即eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(m＞－1，，m＞0,）)得m＞0。

5．解：设方程两根为x1，x2，由题意得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（Δ＝(m－3)2－4m≥0，,x1＋x2＝3－m＞0，,x1·x2＝m＞0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥9或m≤1,，m＜3，,m＞0.）)

得0＜m≤1。故所求m的取值范围为0＜m≤1.

6．解：(1)∵eq\f（π,2）＜θ≤π，∴－1≤cosθ＜0,即－1≤eq\f(x－1，x－2）＜0,得eq\f(x－1,x－2）＋1≥0，eq\f（x－1，x－2)＜0，∴1＜x≤eq\f（3,2）。

(2）∵0≤θ＜eq\f(π,2)，∴tanθ≥0,即eq\f(x＋2,x－1)≥0。∴x≤－2或x＞1。

7．解:（1）由2＋x－x2≥0,即x2－x－2≤0，得－1≤x≤2。故所求函数定义域为[－1，2]．

(2)由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（\f(1＋x,1－x）≥0,1－x≠0,，x2－x＞0)）即得－1≤x＜0。故所求函数定义域为[－1，0)．

(3）由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x2－5x＋4＞0，，x－5≠0))得x＜1得x＞4且x≠5。

故所求函数的定义域为｛x|x＜1或x＞4且x≠5}．

8．解:①当x＜0时,f(x）＝－eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－x＋\f（1，－x）)）.∵－x＋eq\f(1,－x）≥2,∴f（x）≤－2。

②当x＞0时，f（x)＝x＋eq\f(1,x)≥2。∴函数f（x）的值域为(－∞，－2］∪［2，＋∞)．

9．解：（1)设弧长为l，半径为r，则S＝eq\f（1，2)lr。扇形周长C＝l＋2r≥2eq\r(l·2r)＝4eq\r(S），当且仅当l＝2r时等号成立，代入S＝eq\f(1,2）lr,得r2＝S，即r＝eq\r(S)时，周长C有最小值4eq\r(S)。

（2)设弧长为l，则l＋2r＝P。而S＝eq\f（1，2)lr＝eq\f(1，4）l