数学学案：第三章第节反证法.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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§4反证法

1．了解间接证明的一种基本方法——反证法．

2．了解反证法的思考过程、特点．

1．反证法的定义

(1)在证明数学命题时,要证明的结论要么正确，要么错误，二者__________．我们可以先假定命题结论的______成立，在这个前提下,若推出的结果与______________相矛盾，或与命题中的__________相矛盾，或与______相矛盾，从而说明命题结论的反面________成立,由此断定命题的结论______．这种证明方法叫作________．

（2）反证法是一种______证明的方法．

反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．

【做一做1】在应用反证法推出矛盾的推导过程中，下列可以作为条件使用的是（）．

①结论相反的判断，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论．

A．①② B．①②④

C．①②③ D．②③

2．反证法的证明步骤

(1)作出__________的假设;

（2)进行推理，导出______；

（3）否定______，肯定______．

适宜用反证法证明的数学命题：

(1)结论本身是以否定形式出现的一类命题；

(2）关于唯一性、存在性的命题；

（3)结论是以“至多”“至少等形式出现的命题；

(4)结论的反面比原结论更具体、更容易研究的命题;

（5)一些基本命题、定理．

常见的矛盾:

?1?与假设矛盾；

?2?与公认的事实矛盾；

?3?与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾.

【做一做2－1】命题“在△ABC中，若∠A＞∠B，则a＞b”的结论的否定应该是(）．

A．a＜b B．a≤b C．a＝b D．a≥b

【做一做2－2】若a,b,c不全为零，必须且只需（）．

A．abc≠0 B．a,b，c中至少有一个为0

C．a，b，c中只有一个是0 D．a,b，c中至少有一个不为0

答案：1．（1)必居其一反面定义、公理、定理已知条件

假定不可能成立反证法（2)间接

【做一做1】C

2．（1）否定结论（2）矛盾(3）假设结论

【做一做2－1】B

【做一做2－2】Da，b，c不全为零,即a，b,c中至少有一个不为0。

1．反证法证明命题“若p则q”时，可能会出现哪些情况？

剖析：可能会出现以下三种情况：

（1）导出非p为真,即p假，也就是与原命题的条件矛盾．

（2）导出q为真，即与假设“非q为真”矛盾．

（3)导出一个恒假命题，即与定义、公理、定理矛盾．

2．使用反证法证明问题时，准确地作出反设（即否定结论)是正确运用反证法的前提，请列举一下常见的“结论词”与“反设词”．

剖析：列表如下：

原结论词

反设词

原结论词

反设词

至少有一个

一个也没有

对所有x成立

存在某个x不成立

至多有一个

至少有两个

对任意x不成立

存在某个x成立

至少有n个

至多有n－1个

p或q

非p且非q

至多有n个

至少有n＋1个

p且q

非p或非q

题型一反证法证明含否定词的问题

【例题1】如图，AB，CD为圆的两条相交弦，且不全为直径．求证：AB，CD不能互相平分．

分析:本题要证明的是AB,CD能不能互相平分,能与不能二者必居其一．由于不易证明“AB，CD不能互相平分”，不妨假设“AB，CD能互相平分”,以此为出发点,得出与条件“AB，CD不全为直径”矛盾的结论．

反思：用反证法证明该几何问题时，反设之后，以反设为出发点，并且结合圆的内接四边形的性质得出与已知相矛盾的结论，从而证明了原命题成立．另外,证明含否定词的命题常用反证法．

题型二反证法证明结论中含有“至多”“至少类命题

【例题2】已知a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋eq\f(π，2）,b＝y2－2z＋eq\f（π，3)，c＝z2－2x＋eq\f(π,6)。

求证:a，b,c中至少有一个大于0.

反思:结论中含有“至少“至多”等词的命题，常用反证法，注意反设要写正确，这是反证法证题的关键．

题型三反证法证明不易直接证明的问题

【例题3】已知x，y,z∈R，x＋y＋z＝1,x2＋y2＋z2＝eq\f（1,2），

求证：x，y,z∈eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1（0,\f(2,3)））。

分析：本题中的条件比较复杂，而结论比较简单，不太容易入手证明，可用反证法证明．

反思：像这样若直接从条件推证,解题方向不明确，过程不可推测、不易证明的题目，应考虑用反证法证明．

答案：【例题1】证明:假设AB,CD互相平分,则四边形ACBD为平行四边形，

所以∠ACB＝∠ADB，∠CAD＝∠CBD。