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山西省怀仁市一中2025年高三5月半月考数学试题
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角条形码粘贴处。
2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数若恒成立,则实数的取值范围是()
A. B. C. D.
2.抛物线的焦点为F,点为该抛物线上的动点,若点,则的最小值为()
A. B. C. D.
3.设全集,集合,.则集合等于()
A. B. C. D.
4.祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是说:两个同高的几何体,如在等高处的截面积恒相等,则体积相等.设、为两个同高的几何体,、的体积不相等,、在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知,是的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.在中,已知,,,为线段上的一点,且,则的最小值为()
A. B. C. D.
6.已知函数,,,,则,,的大小关系为()
A. B. C. D.
7.在中,,则()
A. B. C. D.
8.已知抛物线经过点,焦点为,则直线的斜率为()
A. B. C. D.
9.若的展开式中的常数项为-12,则实数的值为()
A.-2 B.-3 C.2 D.3
10.下图所示函数图象经过何种变换可以得到的图象()
A.向左平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
11.已知整数满足,记点的坐标为,则点满足的概率为()
A. B. C. D.
12.平行四边形中,已知,,点、分别满足,,且,则向量在上的投影为()
A.2 B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.以,为圆心的两圆均过,与轴正半轴分别交于,,且满足,则点的轨迹方程为_________.
14.在长方体中,,则异面直线与所成角的余弦值为()
A. B. C. D.
15.已知三棱锥中,,,,且二面角的大小为,则三棱锥外接球的表面积为__________.
16.在中,已知,则的最小值是________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)我国在贵州省平塘县境内修建的500米口径球面射电望远镜(FAST)是目前世界上最大单口径射电望远镜.使用三年来,已发现132颗优质的脉冲星候选体,其中有93颗已被确认为新发现的脉冲星,脉冲星是上世纪60年代天文学的四大发现之一,脉冲星就是正在快速自转的中子星,每一颗脉冲星每两脉冲间隔时间(脉冲星的自转周期)是-定的,最小小到0.0014秒,最长的也不过11.765735秒.某-天文研究机构观测并统计了93颗已被确认为新发现的脉冲星的自转周期,绘制了如图的频率分布直方图.
(1)在93颗新发现的脉冲星中,自转周期在2至10秒的大约有多少颗?
(2)根据频率分布直方图,求新发现脉冲星自转周期的平均值.
18.(12分)在平面直角坐标系xoy中,曲线C的方程为.以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为.
(1)写出曲线C的极坐标方程,并求出直线l与曲线C的交点M,N的极坐标;
(2)设P是椭圆上的动点,求面积的最大值.
19.(12分)已知函数,其导函数为,
(1)若,求不等式的解集;
(2)证明:对任意的,恒有.
20.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为以为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,设点在曲线上,点在曲线上,且为正三角形.
(1)求点,的极坐标;
(2)若点为曲线上的动点,为线段的中点,求的最大值.
21.(12分)如图,在直角梯形中,,,,为的中点,沿将折起,使得点到点位置,且,为的中点,是上的动点(与点,不重合).
(Ⅰ)证明:平面平面垂直;
(Ⅱ)是否存在点,使得二面角的余弦值?若存在,确定点位置;若不存在,说明理由.
22.(10分)在如图所示的多面体中,四边形是矩形,梯形为直角梯形,平面平面,且,,.
(1)求证:平面.
(2)求二面角的大小.
参考答案
一、选
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