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一、选择题
1.的值是().
A.1 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用特殊角的三角函数值来计算即可.
【详解】解:2sin30°
=2×
=1
故选:A
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值,做题关键是掌握特殊角的三角函数值.
2.在中,,,,则的值为()
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据正切函数的定义求解即可.
【详解】解:在Rt△ABC中,
tanA=,
故选:D.
【点睛】本题考查三角函数,熟练掌握正切三角函数的定义:tanA=是解题的关键.
3.如图,点A(x,4)在第一象限,OA与x轴所夹的锐角为α,cosα=,则tanα的值为()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】过A作AB⊥x轴于B,则∠ABO=90°,根据锐角三角函数的定义得出,设OB=3x,则AB=5x,根据勾股定理求出x,再根据锐角三角函数的定义求出答案即可.
【详解】解:过A作AB⊥x轴于B,则∠ABO=90°,
∵cosα=,
设OB=3x,则OA=5x,
∵A(x,4),
∴AB=4,
由勾股定理得:,
所以,
解得:x=1,x=-1(负数舍去),
即OB=3,
∴tanα==,
故选:A.
【点睛】本题考查了三角函数定义,勾股定理,熟练掌握三角函数的定义,灵活运用勾股定理是解题的关键.
4.在Rt△ACB中,∠C=90°,AB=8,sinA=,则BC的长为()
A.6 B.7.5 C.8 D.12.5
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意画出图形,然后根据三角函数的知识进行解答即可.
【详解】解:如图
∠C=90°,AB=8,sinA=,
,
解得:,
故选:A.
【点睛】本题考查了解直角三角形,熟知正弦的定义:对边比斜边,是解本题的关键.
5.已知,则锐角α的度数是()
A.60° B.45° C.30° D.75°
【答案】A
【解析】
【分析】根据得到即可求解.
【详解】解:∵,锐角,
∴,
∴,
故选:A.
【点睛】本题考查根据特殊角三角函数值求角的度数,熟记特殊角的三角函数值是解答的关键.
6.如图所示,边长为1的小正方形构成的网格中,半径为1的⊙O的圆心O在格点上,则∠AED的正切值等于()
A. B. C.2 D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据圆周角定理可得,然后求出∠AED的正切值即可.
【详解】解:由圆周角定理得:,
∴tan∠AED=tan∠ABD=.
故选:D.
【点睛】本题主要考查了正切三角函数、圆周角定理等知识点,利用圆周角定理得出是解答本题的关键.
7.在△ABC中,,若,则()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角函数的定义,知,设BC=x,AC=2x,根据勾股定理可求得AB,再根据三角函数的定义就可以求出的值.
【详解】解:在△ABC中,,
∵,
∴设BC=x,AC=2x,
,
,
故选:C.
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义及运用:在直角三角形中,一个锐角的正弦值为对边比斜边,余弦值为邻边比斜边,正切值为对边比邻边.
8.一艘轮船在A处测得灯塔S在船的南偏东方向,轮船继续向正东航行30海里后到达B处,这时测得灯塔S在船的南偏西方向,则灯塔S离观测点A、B的距离分别是
A.海里、15海里 B.海里、5海里
C.海里、海里 D.海里、海里
【答案】D
【解析】
【分析】过S作于C,在上截取,根据线段垂直平分线的性质得到,由等腰三角形的性质得到,求得,设,解直角三角形即可得到结果.
【详解】
过S作于C,在上截取,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
设,在中,
∵,
∴,,
∵海里,
∴,
解得:,
∴海里,
∴海里,
∴则灯塔S离观测点A、B的距离分别是海里、海里.
故选D.
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—方向角问题,正确作出高线转化成解直角三角形问题是解决本题的关键.
9.如图,小明在骑行过程中发现山上有一建筑物.他测得仰角为15°;沿水平笔直的公路向山的方向行驶4千米后,测得该建筑物的仰角为30°,若小明的眼睛与地面的距离忽略不计,则该建筑物离地面的高度为()
A.2千米 B.2千米 C.2千米 D.千米
【答案】C
【解析】
【分析】如图(见解析),先根据三角形的外角性质可得,再根据等腰三角形的判定可得千米,然后利用直角三角形的性质即可得.
【详解】如图,由题意得,千米,,
,
,
千米,
,,
在中,千米,
即该建筑物离地面的高度为2千米,
故选:C.
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、含30度角的直角三角形的性质等知识点,熟练掌握等
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