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北京一零一中2024-2025学年度第一学期高三数学统练三
班级:____学号:____姓名:____成绩:____
一、选择题共10小题.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.在复平面内,复数满足,则的虚部为()
A. B.
C.3 D.
【答案】D
【解析】
【分析】由,化简得到求解.
解:因为复数满足,
所以,
所以的虚部为-3,
故选:D
2.已知是等比数列,若,,则的值为()
A.9 B. C. D.81
【答案】A
【解析】
【分析】根据等比中项的性质即可得到答案.
由题得,而,则,
故选:A.
3.已知函数的导函数的图象如图所示,则的极小值点为()
A.和 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据导函数的图像,确定导函数取得正负的区间,得到原函数的单调性,从而可得选项.
因为当,,所以单调递增;当时,,当时,,所以在上单调递减,在上单调递增,故的极小值点为.
故选:D.
4.在同一个坐标系中,函数,,的图象可能是()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据的单调性相反排除AD,然后根据幂函数图象判断出的范围,由此可得答案.
因为在同一坐标系中,所以函数,的单调性一定相反,
且图象均不过原点,故排除AD;
在BC选项中,过原点的图象为幂函数的图象,且由图象可知,
所以单调递减,单调递增,故排除B,所以C正确.
故选:C.
5.已知实数,则下列结论一定正确的是()
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的性质,逐项判断即可.
解:由题可知,,
A项中,若,则,故A项错误;
B项中,若,则,故,故B项错误;
C项中,若,则,故C项错误;
D项中,,
因为,则,故正确,故D项正确.
故选:D.
6.设是非零向量,则“”是“”的()
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意利用平面向量的三角不等式可得结论.
对于充分性,易知成立的条件是方向相反,且,
所以由可得,所以充分性成立;
对于必要性,若,的方向也可以相同,此时满足,因此必要性不成立,
所以“”是“”的充分而不必要条件.
故选:A.
7.已知函数是奇函数,且,将的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,所得图象对应的函数为,则()
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角函数的性质及图象变换计算即可.
由题意可知,,
所以或,
由
因为,
所以,即,
故.
故选:A.
8.荀子《劝学》中说:“不积跬步,无以至千里;不积小流,无以成江海.”学习是日积月累的过程,每天进步一点点,前进不止一小点.若甲、乙两同学当下的知识储备量均为a,甲同学每天的“进步”率和乙同学每天的“退步”率均为2%.n天后,甲同学的知识储备量为,乙同学的知识储备量为,则甲、乙的知识储备量之比为2时,需要经过的天数约为()(参考数据:,,)
A.15 B.18 C.30 D.35
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意列式,结合对数运算,即可求得答案.
由题意可设经过n天后甲、乙知识储备量之比为2,
则,
则(天),
故选:B
9.若数列满足,,则的值为()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由与的关系求得,从而为常数列,得到,即可求的值.
由及得,
即,
即,
所以,即常数列,
又,所以,即,
所以,
所以.
故选:B
10.2024年1月17日我国自行研制的天舟七号货运飞船在发射3小时后成功对接于空间站天和核心舱后向端口,创造了自动交会对接的记录.某学校的航天科技活动小组为了探索运动物体追踪技术,设计了如下实验:目标P在地面轨道上做匀速直线运动;在地面上相距的A,B两点各放置一个传感器,分别实时记录A,B两点与物体P的距离.科技小组的同学根据传感器的数据,绘制了“距离-时间”函数图像,分别如曲线a,b所示.和分别是两个函数的极小值点.曲线a经过和,曲线b经过.已知,并且从时刻到时刻P的运动轨迹与线段AB相交.分析曲线数据可知,P的运动轨迹与直线AB所成夹角的正弦值以及P的速度大小分别为()
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】建系,设点,作相应的辅助线,分析可知,结合分析求解即可.
如图,建立平面直角坐标系,
设动点P的轨迹与y轴重合,其在时刻对应的点分别为(坐标原点),,P的速度为,
因为,可得,
由题意可知:均与y轴垂直,且,
作垂足为,则,
因为,即,解得;
又因为∥y轴,可知P的运动轨迹与直线AB所成夹角即为,
所以P的运动轨迹与直线AB所成夹角的正弦
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