2019-2020年上海各区二模压轴题分类汇编-23题-答案.docxVIP

专题2020年二模分类汇编23题

专题一相似三角形证明

【知识梳理】

【历年真题】

1．（2020?普陀区二模）已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，

点E是DB延长线上的一点，且EA＝EC，分别延长AD、EC交于点F．

（1）求证：四边形ABCD为菱形；

（2）如果∠AEC＝2∠BAC，求证：EC?CF＝AF?AD．

【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质；菱形的判定与性质．

【专题】图形的相似；推理能力．

【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形知OA＝OC，结合EA＝EC知EO⊥AC，从而得证；

（2）先由∠AEB＝∠CEB＝∠AEC，平行四边形ABCD为菱形得∠CDF＝∠DAC+∠DCA＝∠AEF，据此可证△FCD∽△FAE得＝，结合CD＝AD，AE＝CE可得答案．

【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC，

又∵EA＝EC，∴EO⊥AC，

∴四边形ABCD是菱形；

（2）∵∠AEB＝∠CEB＝∠AEC，平行四边形ABCD为菱形，

∴∠AEB＝∠CEB＝∠BAC＝∠BCA＝∠DAC＝∠DCA，

∠CDF＝∠DAC+∠DCA＝∠AEF，

∴△FCD∽△FAE，∴＝，

∵CD＝AD，AE＝CE，

∴＝，即EC?CF＝AF?AD．

【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质、菱形的判定、等腰三角形的性质及相似三角形的判定与性质等知识点．

2．（2020?长宁区二模）如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在对角线AC上，点F在边

CD上（点F与点C、D不重合），BE⊥EF，且∠ABE+∠CEF＝45°．

（1）求证：四边形ABCD是正方形；

（2）连接BD，交EF于点Q，求证：DQ?BC＝CE?DF．

【考点】正方形的判定与性质；矩形的性质．

【专题】矩形菱形正方形；图形的相似；推理能力．

【分析】（1）作EM⊥BC于点M，可证EM∥AB，可得∠ABE＝∠BEM，∠BAC＝∠CEM，由角的数量关系可得∠CEM＝45°＝∠BAC，可证AB＝BC，可得结论；

（2）通过证明△BCE∽△FDQ，可得，可得结论．

【解答】证明：（1）如图，作EM⊥BC于点M，

∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥BC，∴EM∥AB，

∴∠ABE＝∠BEM，∠BAC＝∠CEM，

∵∠ABE+∠CEF＝45°，∴∠BEM+∠CEF＝45°，

∵BE⊥EF，∴∠CEM＝45°＝∠BAC，

∴∠BAC＝∠ACB＝45°，

∴AB＝BC，∴矩形ABCD是正方形；

（2）如图，

∵∠BEF+∠BCF+∠EFC+∠EBC＝360°，

∴∠EBC+∠EFC＝180°，且∠EFC+∠QFD＝180°，

∴∠DFQ＝∠EBC，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ACB＝∠BDC＝45°，∴△BCE∽△FDQ，

∴，∴BC?DQ＝CE?DF．

【点评】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．

3．（2020?奉贤区二模）已知：如图，在梯形ABCD中，CD∥AB，∠DAB＝90°，对角线

AC、BD相交于点E，AC⊥BC，垂足为点C，且BC2＝CE?CA．

（1）求证：AD＝DE；

（2）过点D作AC的垂线，交AC于点F，求证：CE2＝AE?AF．

【考点】相似三角形的判定与性质；直角梯形．

【专题】图形的相似；推理能力．

【分析】（1）根据相似三角形的判定定理得到△BCE∽△ACB，根据相似三角形的性质得到∠CBE＝∠CAB，根据等角的余角相等得到∠BEC＝∠DAE，根据等腰三角形的判定定理证明；

（2）根据平行线分线段成比例定理得到，，得到，整理得到CE2＝AE?EF，根据等腰三角形的三线合一得到AF＝EF，证明结论．

【解答】证明：（1）∵BC2＝CE?CA，

∴，又∠ECB＝∠BCA，∴△BCE∽△ACB，

∴∠CBE＝∠CAB，

∵AC⊥BC，∠DAB＝90°，

∴∠BEC+∠CBE＝90°，∠DAE+∠CAB＝90°，

∴∠BEC＝∠DAE，

∵∠BEC＝∠DEA，∴∠DAE＝∠DEA，

∴AD＝DE；

（2）∵DF⊥AC，AC⊥BC，

∴∠DFE＝∠BCA＝90°，∴DF∥BC，

∴，

∵DC∥AB，∴，

∴，∴CE2＝AE?EF，

∵AD＝DE，DF⊥AC，∴AF＝EF，

∴CE2＝AE?AF．

【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、直角梯形的概念，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

4．（2020?静安区二模）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BA至点E，使得

AE＝AB，联结DE、AC．点F在线段DE上，联结BF