2020-2021年上海各区二模压轴题分类汇编-23题-答案.docxVIP

专题2021年二模分类汇编23题

专题一相似三角形证明

【历年真题】

1．（2021?金山区二模）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，点

G在底边BC上，联结DG交对角线AC于F，∠DGB＝∠DAB．

（1）求证：四边形ABGD是菱形；

（2）联结EG，求证：BG?EG＝BC?EF．

【考点】相似三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；梯形．

【专题】图形的全等；矩形菱形正方形；图形的相似；推理能力．

【分析】（1）先证四边形ABGD是平行四边形，再由菱形的判定可得结论；

（2）由“SAS”可证△ABE≌△GBE，可得EG＝AE，由相似三角形的性质可得，即可得结论．

【解答】证明：（1）∵AD∥BC，

∴∠DAB+∠ABG＝180°，∠DGB+∠ADG＝180°，

∵∠DGB＝∠DAB，∴∠ABG＝∠ADG，

∴四边形ABGD是平行四边形，

∵BD平分∠ABC，∴∠ADB＝∠GDB，

∵AD∥BG，∴∠ADB＝∠DBG＝∠BDG，∴BG＝DG，

∴四边形ABGD是菱形；

（2）如图，连接EG，

∵四边形ABGD是菱形，∴AB＝BG＝AD，∠ABE＝∠GBE，

在△ABE和△GBE中，

，

∴△ABE≌△GBE（SAS），∴EG＝AE，

∵AD∥BC，∴△ADE∽△CBE，

∴，

∵DF∥AB，∴＝，∴，

∵AD＝BG，AE＝EG，∴，

∴BG?EG＝BC?EF．

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．

2．（2021?长宁区二模）如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点

O，AC平分∠BAD，BD平分∠ABC，点E在边BC的延长线上，联结OE，交边CD于点F．

（1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）如果OE⊥CD，求证：CE?OF＝CF?OE．

【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；菱形的判定与性质．

【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；图形的相似；推理能力．

【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的性质可证AB＝BC，AB＝AD，由菱形的判定可得结论；

（2）由菱形的性质和角平分线的性质可得OF＝OH，通过证明△CEF∽△OEH，可得结论．

【解答】证明：（1）∵AC平分∠BAD，BD平分∠ABC，

∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠CBD，

∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB＝∠BAC，∠ADB＝∠DBC＝∠ABD，

∴AB＝BC，AB＝AD，∴AD＝BC，

又∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，

又∵AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形；

（2）如图，过点O作OH⊥BC于H，

∵四边形ABCD是菱形，∴∠OCB＝∠OCD，

又∵OF⊥CD，OH⊥BC，∴OF＝OH，

∵∠E＝∠E，∠EFC＝∠EHO＝90°，∴△CEF∽△OEH，

∴＝，∴CE?OF＝CF?OE．

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键．

3．（2021?崇明区二模）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，点E在下底BC

上，∠AED＝∠B．

（1）求证：CE?AD＝DE2；

（2）求证：．

【考点】相似三角形的判定与性质；梯形．

【专题】梯形；图形的相似；推理能力．

【分析】（1）通过证明△ADE∽△DEC，可得，即可得结论；

（2）由相似三角形的性质可得＝，即可得结论．

【解答】证明：（1）∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，

∴∠B＝∠C，AB＝DC，∠ADE＝∠DEC，

∵∠AED＝∠B，∴∠C＝∠AED，

∴△ADE∽△DEC，∴，

∴CE?AD＝DE2；

（2）∵△ADE∽△DEC，∴＝，

∴＝，

∴．

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，梯形的性质，掌握相似三角形的判定方法是本题的关键．

4．（2021?普陀区二模）已知：如图，在?ABCD中，点E、F分别在边BC、边BC的延长线

上，四边形AEFD是菱形，菱形的对角线AF分别交DE、DC于点P、Q，．

求证：（1）四边形ABCD为矩形；

（2）BE?DQ＝FQ?PE．

【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的判定与性质．【专题】矩形菱形正方形；解直角三角形及其应用；推理能力．

【分析】（1）通过证明△ABF∽△EPF，可得结论；

（2）通过证明△DPQ∽△FCQ，可得结论．

【解答】证明：（1）∵四边形ADFE是菱形，∴AF⊥DE，

∴∠EPF＝90°，

∵，∠PFE＝∠AFB，

∴△ABF∽△EP