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2020年北京二模——二次函数综合
1．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点B的坐标为，将直线沿y轴向上平移3个单位长度后，恰好经过B、C两点．
（1）求k的值和点C的坐标；
（2）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（3）已知点E是点D关于原点的对称点，若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．
【答案】（1），；（2），；（3）
【分析】
（1）将直线沿y轴向上平移3个单位长度后得到，并且经过点，代入求得值，且C点为抛物线与y轴交点，则C点坐标为，也经过C点，代入可求出C点坐标；
（2）已知B、C两点的坐标，根据待定系数法即可求出抛物线的解析式，再根据顶点式则可求出顶点坐标；
（3）将A、E两点的坐标分别代入抛物线的解析式即可求出相应的值，通过观察图象，上下移动图象即可求出抛物线与线段AE有一个公共点时的范围．
【详解】
（1）解：将直线沿y轴向上平移3个单位长度后得到，
∵直线经过点，
∴，
则．
C点为抛物线与y轴交点，则C点坐标为，
且经过点，代入得：，则C点坐标为．
（2）解：抛物线经过点和点，
∴，
∴，
，
∴抛物线的函数表达式为，
∴，
∴顶点D的坐标为．
（3）解：∵点E是点D关于原点的对称点，
∴点E的坐标为．
当经过点时，，则，
当经过点时，，则，
结合下面图象可知a的取值范围是．
【点睛】
本题考查了一次函数、二次函数的解析式和图像等知识点，熟练掌握函数的性质、图象及公式是解题的关键．
2．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点（在的左侧）．
（1）求点的坐标及抛物线的对称轴；
（2）已知点，若抛物线与线段有公共点，请结合函数图象，求的取值范围．
【答案】（1），；（2），或，或
【分析】
（1）与x轴的交点纵坐标为0，然后计算时的x值即可求出坐标;根据抛物线的对称轴为求解即可；
（2）由抛物线的顶点坐标和抛物线上两点．分a＞0，a＜0两种情形分别求解即可解决问题．
【详解】
解：（1），
当y=0时，
∴
∴抛物线与轴交于点．
抛物线对称轴为直线：．
（2），
抛物线的顶点坐标为：．
令，得，
，
解得，或，
∴当时，抛物线上两点．
??
①当时，抛物线开口向上，顶点位于轴下方，且位于点的右侧，如图1，当点位于点左侧时，抛物线与线段有公共点，
此时，
解得．
②当时，抛物线开口向下，顶点位于轴上方，点位于点的左侧，
（i）如图2，当顶点位于点下方时，抛物线与线段有公共点，
此时，
解得．
（ii）如图3，当顶点位于点上方，点位于点右侧时，抛物线与线段有公共点，
此时，
解得．
综上，的取值范围是，或，或．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是理解题意利用不等式解决问题，属于二次函数综合题，题目较难．
3．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，抛物线的顶点为C．
（1）若抛物线经过点B时，求顶点C的坐标；
（2）若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围；
（3）若满足不等式的x的最大值为3，直接写出实数a的值．
【答案】（1）；（2）a的取值范围是或a=；（3）．
【分析】
（1）将B点坐标代入抛物线即可求出的值，从而求出抛物线的解析式，再根据顶点坐标公式即可求出顶点坐标；
（2）讲A点和B点的坐标分别代入抛物线解析式即可求出相应的值，通过观察图象，上下移动图象即可知道抛物线与线段AB有交点时的范围；
（3）抛物线的对称轴为，抛物线开口向上，当时，越来越大，则的x的最大值为3，可知，当时，，代入即可求出的值．
【详解】
解：（1）依据题意，将得点B的坐标代入抛物线得：
，
解得．
此时，．
所以顶点C的坐标为．
（2）当抛物线过时，，此时，．
当抛物线过时，，此时，．
当抛物线顶点在线段AB上时，a=.
结合下面图象可知，a的取值范围是或a=．??
（3）抛物线的对称轴为，抛物线开口向上，当时，越来越大，则的x的最大值为3，可知，当时，不等式有最大值且最大值为0，则，代入得，解得．
则实数的值为8．
【点睛】
本题考查了二次函数的解析式、图象及二次函数与一元二次不等式的相关知识点，熟练掌握公式以及灵活观察图象是解题的关键．
4．在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点，且．抛物线与y轴交于点C，将点C向上移动1个单位得到点D．
（1）求抛物线对称轴；
（2）求点D纵坐标（用含有a的代数式表示）；
（3）已知点，若抛物线与线段只有一个公共点，求a的取值范围．
【答案】（1）对称轴；（2）；（3）当或时，抛物线与线段只有一个交点．
【分析】
（1）直接根据二次函数的对称轴计算即可；
（2）根据，对称轴可得，，把代入得，则有，可得C点坐标为，再根据平移，可得D纵坐标；
（3）分两
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