2025年北师大版九年级下册数学第2章专项突破练9 与二次函数有关的存在性问题.pptx

第二章二次函数专项突破练9与二次函数有关的存在性问题

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1.[2024渭南大荔一模]如图，抛物线L∶y＝ax2＋bx＋3经过点B(1，0)和(3，－12)，与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l.(1)求该抛物线的表达式；

(2)点F在对称轴l上，点P在抛物线上，过点P作对称轴l的垂线，垂足为E，是否存在以P，E，F为顶点的三角形与△AOC全等？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：存在.如图．由y＝－x2－2x＋3得对称轴l为直线x＝－1，A(－3，0)，C(0，3)，∴AO＝OC＝3.∴△AOC是等腰直角三角形．由题知PE⊥l，∴∠PEF＝90°.∴要使以P，E，F为顶点的三角形与△AOC全等，则PE＝EF＝OA＝OC＝3，∴xP＝－4或xP＝2.当x＝－4时，y＝－5；当x＝2时，y＝－5.∴P(－4，－5)或(2，－5)．返回

2.[2024西安铁一中六模]如图，在平面直角坐标系中，抛物线L的顶点坐标为E(－2，8)，且过B(0，6)，与x轴的负半轴交于点M.(1)求该抛物线L的表达式；

(2)将抛物线L关于y轴对称后的抛物线记为L′，其顶点记为点D，连接MD，在抛物线L′的对称轴上是否存在点Q，使得以点M，D，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

解：存在．由(1)中抛物线L的表达式，得M(－6，0)．由题意得，新抛物线的对称轴为直线x＝2，D(2，8)．设点Q(2，m)，由D，Q，M的坐标得DQ2＝(8－m)2，QM2＝64＋m2，DM2＝128.当DQ＝QM时，(8－m)2＝64＋m2，解得m＝0，∴点Q(2，0)；

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3.[2024西安高新区三模]如图，抛物线l1∶y＝ax2＋bx＋6与x轴分别交于点A(－3，0)，点B(－2，0)，与y轴交于点C，连接AC．(1)求抛物线l1的表达式；解：设抛物线l1的表达式为y＝a(x＋3)(x＋2)＝a(x2＋5x＋6)，则6a＝6，解得a＝1，∴抛物线l1的表达式为y＝x2＋5x＋6.

(2)若抛物线l2与抛物线l1关于原点O对称，点P是第四象限抛物线l2上的点，过点P作PD⊥y轴于点D，连接PO.若△AOC与△POD相似，求点P的坐标．解：如图．由抛物线l2与抛物线l1关于原点O对称，可得抛物线l2的表达式为y＝－x2＋5x－6.

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4.[2024西安铁一中八模]如图，已知抛物线L∶y＝x2－2x－3与x轴交于点A，B(A在B的左侧)，顶点为C，将抛物线L向左平移5个单位长度，得到抛物线L′.(1)求点A，B，C的坐标．解：令y＝x2－2x－3＝0，则x＝－1或x＝3，∴点A，B的坐标分别为(－1，0)，(3，0)．∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴点C(1，－4)．

(2)M为抛物线L上一动点，N为抛物线L′上一动点，是否存在M，N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形？若存在，请求出点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．解：存在．由题意得L′∶y＝(x－1＋5)2－4＝x2＋8x＋12，设点M，N的坐标分别为(m，m2－2m－3)，(n，n2＋8n＋12)，当AB为平行四边形的边时，点A向右平移4个单位长度得到点B，则点M(N)向右平移4个单位长度得到点N(M)，

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