华南师大附中2024-25届高三上学期综合测试（一）（数学）.doc

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华南师大附中2024-25届高三上学期综合测试（一）

数学

满分：150分时间：120分钟

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.半径为2的圆上长度为4的圆弧所对的圆心角是（）

A.1 B.2 C.4 D.8

2.直线过抛物线的焦点，且在轴与轴上的截距相同，则的方程是（）

A. B.

C. D.

3.已知，，则（）

A. B.

C. D.

4.函数的图象不可能是（）

A. B.

C. D.

5.已知，，满足，，，则（）

A. B. C. D.

6.若正数满足，则的最小值是（）

A. B. C. D.2

7.已知.设甲：，乙：，则（）

A.甲是乙的充要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充分条件但不是必要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

8.已知正实数满足，，，则的大小关系是（）

A. B.

C. D.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.已知函数，则（）

A.有两个极值点

B.有一个零点

C.点是曲线的对称中心

D.直线是曲线的切线

10.已知函数的定义域为，且为偶函数，则（）

A. B.为奇函数

C. D.

11.已知函数，曲线.过不在上的点恰能作两条的切线，切点分别为，则（）

A. B.

C. D.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.某中学的A?B两个班级有相同的语文?数学?英语教师，现对此2个班级某天上午的5节课进行排课，2节语文课，2节数学课，1节英语课，要求每个班级的2节语文课连在一起，2节数学课连在一起，则共有__________种不同的排课方式.（用数字作答）

13.已知函数为定义在上的奇函数，则______．

14.一段路上有100个路灯一开始它们都是关着的，有100名行人先后经过这段路，对每个，当第名行人经过时，他将所有下标为的倍数的路灯的开关状态改变.问当第100名行人经过后，有______个路灯处于开着的状态.

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）记的内角所对的边分别为，已知．

（1）求；

（2）若，，求的面积．

16.（15分）如图，在四棱锥中，四边形ABCD是边长为2正方形，平面平面ABCD，，点E是线段AD的中点，.

（1）证明：//平面BDM；

（2）求平面AMB与平面BDM的夹角.

17.（15分）HSFZ在运动会期间，随机抽取了200名学生参加绳子打结计时的趣味性比赛，并对学生性别与绳子打结速度快慢的相关性进行分析，得到数据如下表：

性别

速度

合计

快

慢

男生

65

女生

55

合计

110

200

（1）根据以上数据，能否有99%的把握认为学生性别与绳子打结速度快慢有关？

（2）现有n根绳子，共有2n个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束.

（i）当，记随机变量X为绳子围成的圈的个数，求X的分布列与数学期望；

（ii）求证：这n根绳子恰好能围成一个圈的概率为

附：

0.100

0.050

0.025

0.010

k

2.706

3.841

5.024

6.635

18.（17分）费马原理，也称为时间最短原理：光传播的路径是光程取极值的路径．在凸透镜成像中，根据费马原理可以推出光线经凸透镜至像点的总光程为定值（光程为光在某介质中传播的路程与该介质折射率的乘积）．一般而言，空气的折射率约为1．如图是折射率为2的某平凸透镜的纵截面图，其中平凸透镜的平面圆直径为6，且与轴交于点．平行于轴的平行光束从左向右照向该平凸透镜，所有光线经折射后全部汇聚在点处并在此成像．（提示：光线从平凸透镜的平面进入时不发生折射）

（1）设该平凸透镜纵截面中的曲线为曲线，试判断属于哪一种圆锥曲线，并求出其相应的解析式．

（2）设曲线为解析式同的完整圆锥曲线，直线与交于，两点，交轴于点，交轴于点（点不与的顶点重合）．若，，试求出点所有可能的坐标．

19.（17分）已知函数.

（1）当时，记函数的导数为，求的值.

（2）当，时，证明：.

（3）当时，令，的图象在，处切线的斜率相同，记的最小值为，求的最小值.

（注：是自然对数的底数）.

数学参考答案

一、选择题

1

2

3

4

5

6

7

8

8

A

D

D

A

A

C

C

9