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广东省中山一中丰山学部2023届高三下学期自主练习数学试题
注意事项
1.考生要认真填写考场号和座位序号。
2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量,,则与共线的单位向量为()
A. B.
C.或 D.或
2.已知等差数列{an},则“a2>a1”是“数列{an}为单调递增数列”的()
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
3.已知,,,则的最小值为()
A. B. C. D.
4.设,是空间两条不同的直线,,是空间两个不同的平面,给出下列四个命题:
①若,,,则;
②若,,,则;
③若,,,则;
④若,,,,则.其中正确的是()
A.①② B.②③ C.②④ D.③④
5.设等差数列的前n项和为,若,则()
A. B. C.7 D.2
6.国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是()
A.12个月的PMI值不低于50%的频率为
B.12个月的PMI值的平均值低于50%
C.12个月的PMI值的众数为49.4%
D.12个月的PMI值的中位数为50.3%
7.若,则下列关系式正确的个数是()
①②③④
A.1 B.2 C.3 D.4
8.《九章算术》中记载,堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱,阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图,在堑堵中,,,当阳马体积的最大值为时,堑堵的外接球的体积为()
A. B. C. D.
9.如果,那么下列不等式成立的是()
A. B.
C. D.
10.已知命题,;命题若,则,下列命题为真命题的是()
A. B. C. D.
11.集合的真子集的个数为()
A.7 B.8 C.31 D.32
12.过直线上一点作圆的两条切线,,,为切点,当直线,关于直线对称时,()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知的展开式中含有的项的系数是,则展开式中各项系数和为______.
14.已知点是抛物线的焦点,,是该抛物线上的两点,若,则线段中点的纵坐标为__________.
15.如图所示,点,B均在抛物线上,等腰直角的斜边为BC,点C在x轴的正半轴上,则点B的坐标是________.
16.已知两点,,若直线上存在点满足,则实数满足的取值范围是__________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知
(1)当时,判断函数的极值点的个数;
(2)记,若存在实数,使直线与函数的图象交于不同的两点,求证:.
18.(12分)已知数列的各项均为正数,且满足.
(1)求,及的通项公式;
(2)求数列的前项和.
19.(12分)已知数列的前项和为,且满足().
(1)求数列的通项公式;
(2)设(),数列的前项和.若对恒成立,求实数,的值.
20.(12分)已知函数f(x)=x-1+x+2,记f(x)
(Ⅰ)解不等式f(x)≤5;
(Ⅱ)若正实数a,b满足1a+1
21.(12分)已知矩阵,且二阶矩阵M满足AM?B,求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量.
22.(10分)已知是等差数列,满足,,数列满足,,且是等比数列.
(1)求数列和的通项公式;
(2)求数列的前项和.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.D
【解析】
根据题意得,设与共线的单位向量为,利用向量共线和单位向量模为1,列式求出即可得出答案.
【详解】
因为,,则,
所以,
设与共线的单位向量为,
则,
解得或
所以与共线的单位向量为或.
故选:D.
【点睛】
本题考查向量的坐标运算以及共线定理和单位向量的定义.
2.C
【解析】
试题分析:根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
解:在等差数列{an}中,若a2>a1,则d>0,即数列{an}为单调递增数列,
若数列{an}为单调递增数列,则a2>a1,成立,
即“a2>a1”是“数列{an}为单调递增数列”充分必要条件,
故选C.
考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断.
3.B
【解析】
,选B
4.C
【解析】
根据线面平行或垂直的有关定理逐一判断即可
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