6.4　6.4.3　第1课时　余弦定理.doc

6.4.3余弦定理、正弦定理

第1课时余弦定理

(教师独具内容)

课程标准：借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理．

教学重点：1.用向量的方法推导余弦定理.2.用余弦定理求解三角形的边、角．

教学难点：余弦定理在解三角形中的应用．

核心素养：1.通过余弦定理的推导过程培养逻辑推理素养.2.通过余弦定理的应用培养数学运算素养.

知识点一余弦定理

三角形中任何一边的平方，等于eq\x(\s\up1(01))其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即a2＝eq\x(\s\up1(02))b2＋c2－2bccosA，b2＝eq\x(\s\up1(03))c2＋a2－2cacosB，c2＝eq\x(\s\up1(04))a2＋b2－2abcosC.

知识点二余弦定理的推论

cosA＝eq\x(\s\up1(01))eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\x(\s\up1(02))eq\f(c2＋a2－b2,2ca)，cosC＝eq\x(\s\up1(03))eq\f(a2＋b2－c2,2ab).

知识点三解三角形

(1)一般地，三角形的eq\x(\s\up1(01))三个角A，B，C和它们的eq\x(\s\up1(02))对边a，b，c叫做三角形的元素．

(2)eq\x(\s\up1(03))已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．

知识点四余弦定理及其推论的应用

应用余弦定理及其推论可解决两类解三角形的问题：一类是已知eq\x(\s\up1(01))两边及其夹角解三角形，另一类是已知eq\x(\s\up1(02))三边解三角形．

1．对余弦定理的理解

(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．

(2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”．

(3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．

(4)主要功能：余弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的互化．

2．判定三角形的形状

(1)有关三角形边角关系解三角形问题，就是从“统一”入手，体现转化思想．判断三角形的形状有两条思路：

①化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系式．

②化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系式．

(2)判定三角形形状时经常用到下列结论：

①在△ABC中，若a2b2＋c2，则0°A90°；反之，若0°A90°，则a2b2＋c2.例如：在不等边△ABC中，a是最大的边，若a2b2＋c2，则60°A90°.

②在△ABC中，若a2＝b2＋c2，则A＝90°；反之，若A＝90°，则a2＝b2＋c2.

③在△ABC中，若a2b2＋c2，则90°A180°；反之，若90°A180°，则a2b2＋c2.

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)余弦定理只适用于已知三边和已知两边及其夹角的情况．()

(2)勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．()

(3)已知△ABC中的三边，可结合余弦定理判断三角形的形状．()

答案(1)×(2)√(3)√

2．做一做

(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝eq\r(7)，c＝eq\r(3)，则B＝________.

(2)已知△ABC的三边分别为2,3,4，则此三角形是________三角形．

(3)在△ABC中，若a2＋b2－c2＝ab，则角C的大小为________.

(4)在△ABC中，AB＝4，BC＝3，B＝60°，则AC＝________.

答案(1)eq\f(5π,6)(2)钝角(3)eq\f(π,3)(4)eq\r(13)

题型一已知两边及一角解三角形

例1在△ABC中，a＝2eq\r(3)，c＝eq\r(6)＋eq\r(2)，B＝45°，解这个三角形．

[解]由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝(2eq\r(3))2＋(eq\r(6)＋eq\r(2))2－2×2eq\r(3)×(eq\r(6)＋eq\r(2))×cos45°＝8，

∴b＝2eq\r(2)，

又cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)

＝eq\f(8＋?\r(6)＋\r(2)?2－?2\r(3)?2,2×2\r(2)×?\r(6)＋\r(2)?)＝eq\f(1,2)，

∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°.

已知两边及一角解三角形的两种情况

(1)已知两边和两边夹角，直接应用余弦定理求出第三边，然后根据边角关系应用余弦定理求解其他角．

(2)三角形中已知两边和一边的对角，解法如下：利用余弦定理列出关于第三边的