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6.4.3余弦定理、正弦定理
第1课时余弦定理
(教师独具内容)
课程标准:借助向量的运算,探索三角形边长与角度的关系,掌握余弦定理.
教学重点:1.用向量的方法推导余弦定理.2.用余弦定理求解三角形的边、角.
教学难点:余弦定理在解三角形中的应用.
核心素养:1.通过余弦定理的推导过程培养逻辑推理素养.2.通过余弦定理的应用培养数学运算素养.
知识点一余弦定理
三角形中任何一边的平方,等于eq\x(\s\up1(01))其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即a2=eq\x(\s\up1(02))b2+c2-2bccosA,b2=eq\x(\s\up1(03))c2+a2-2cacosB,c2=eq\x(\s\up1(04))a2+b2-2abcosC.
知识点二余弦定理的推论
cosA=eq\x(\s\up1(01))eq\f(b2+c2-a2,2bc),cosB=eq\x(\s\up1(02))eq\f(c2+a2-b2,2ca),cosC=eq\x(\s\up1(03))eq\f(a2+b2-c2,2ab).
知识点三解三角形
(1)一般地,三角形的eq\x(\s\up1(01))三个角A,B,C和它们的eq\x(\s\up1(02))对边a,b,c叫做三角形的元素.
(2)eq\x(\s\up1(03))已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
知识点四余弦定理及其推论的应用
应用余弦定理及其推论可解决两类解三角形的问题:一类是已知eq\x(\s\up1(01))两边及其夹角解三角形,另一类是已知eq\x(\s\up1(02))三边解三角形.
1.对余弦定理的理解
(1)适用范围:余弦定理对任意的三角形都成立.
(2)结构特征:“平方”“夹角”“余弦”.
(3)揭示的规律:余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式,它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系.
(4)主要功能:余弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的互化.
2.判定三角形的形状
(1)有关三角形边角关系解三角形问题,就是从“统一”入手,体现转化思想.判断三角形的形状有两条思路:
①化边为角,再进行三角恒等变换,求出三角之间的数量关系式.
②化角为边,再进行代数恒等变换,求出三边之间的数量关系式.
(2)判定三角形形状时经常用到下列结论:
①在△ABC中,若a2b2+c2,则0°A90°;反之,若0°A90°,则a2b2+c2.例如:在不等边△ABC中,a是最大的边,若a2b2+c2,则60°A90°.
②在△ABC中,若a2=b2+c2,则A=90°;反之,若A=90°,则a2=b2+c2.
③在△ABC中,若a2b2+c2,则90°A180°;反之,若90°A180°,则a2b2+c2.
1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)余弦定理只适用于已知三边和已知两边及其夹角的情况.()
(2)勾股定理是余弦定理的特例,余弦定理是勾股定理的推广.()
(3)已知△ABC中的三边,可结合余弦定理判断三角形的形状.()
答案(1)×(2)√(3)√
2.做一做
(1)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=1,b=eq\r(7),c=eq\r(3),则B=________.
(2)已知△ABC的三边分别为2,3,4,则此三角形是________三角形.
(3)在△ABC中,若a2+b2-c2=ab,则角C的大小为________.
(4)在△ABC中,AB=4,BC=3,B=60°,则AC=________.
答案(1)eq\f(5π,6)(2)钝角(3)eq\f(π,3)(4)eq\r(13)
题型一已知两边及一角解三角形
例1在△ABC中,a=2eq\r(3),c=eq\r(6)+eq\r(2),B=45°,解这个三角形.
[解]由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=(2eq\r(3))2+(eq\r(6)+eq\r(2))2-2×2eq\r(3)×(eq\r(6)+eq\r(2))×cos45°=8,
∴b=2eq\r(2),
又cosA=eq\f(b2+c2-a2,2bc)
=eq\f(8+?\r(6)+\r(2)?2-?2\r(3)?2,2×2\r(2)×?\r(6)+\r(2)?)=eq\f(1,2),
∴A=60°,C=180°-(A+B)=75°.
已知两边及一角解三角形的两种情况
(1)已知两边和两边夹角,直接应用余弦定理求出第三边,然后根据边角关系应用余弦定理求解其他角.
(2)三角形中已知两边和一边的对角,解法如下:利用余弦定理列出关于第三边的
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