2019-2020年上海各区二模压轴题分类汇编-24题.docxVIP

专题2020年上海二模各区分类汇编24题

专题一二次函数与角度问题

【知识梳理】

【历年真题】

1．（2020?虹口区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣

1，0）和点B（3，0），该抛物线对称轴上的点P在x轴上方，线段PB绕着点P逆时针旋

转90°至PC（点B对应点C），点C恰好落在抛物线上．

（1）求抛物线的表达式并写出抛物线的对称轴；

（2）求点P的坐标；

（3）点Q在抛物线上，联结AC，如果∠QAC＝∠ABC，求点Q的坐标．

2．（2020?金山区二模）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过

点A（3，0）和B（0，3），其顶点为C．

（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；

（2）我们把坐标为（n，m）的点叫做坐标为（m，n）的点的反射点，已知点M在这条抛物线上，它的反射点在抛物线的对称轴上，求点M的坐标；

（3）点P是抛物线在第一象限部分上的一点，如果∠POA＝∠ACB，求点P的坐标．

4．（2020?闵行区二模）在平面直角坐标系xOy中，我们把以抛物线y＝x2上的动点A为顶

点的抛物线叫做这条抛物线的“子抛物线”．

如图，已知某条“子抛物线”的二次项系数为，且与y轴交于点C．设点A的横坐标为m（m＞0），过点A作y轴的垂线交y轴于点B．

（1）当m＝1时，求这条“子抛物线”的解析式；

（2）用含m的代数式表示∠ACB的余切值；

（3）如果∠OAC＝135°，求m的值．

5．（2020?徐汇区二模）如图，已知直线y＝2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，矩形

ACBE的顶点B在第一象限的反比例函数y＝图象上，过点B作BF⊥OC，垂足为F，设

OF＝t．

（1）求∠ACO的正切值；

（2）求点B的坐标（用含t的式子表示）；

（3）已知直线y＝2x+2与反比例函数y＝图象都经过第一象限的点D，联结DE，如果DE⊥x轴，求m的值．

6．（2020?奉贤区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx经过点A（2，0）．直

线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C．

（1）求这条抛物线的表达式和顶点的坐标；

（2）将抛物线y＝x2+bx向右平移，使平移后的抛物线经过点B，求平移后抛物线的表达式；

（3）将抛物线y＝x2+bx向下平移，使平移后的抛物线交y轴于点D，交线段BC于点P、Q，（点P在点Q右侧），平移后抛物线的顶点为M，如果DP∥x轴，求∠MCP的正弦值．

【考点】二次函数图象与几何变换；待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．

【专题】一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；运算能力．

【分析】（1）根据待定系数法即可求得抛物线的解析式，化成顶点式即可求得顶点坐标；

（2）根据图象上点的坐标特征求得B（4，0），然后分两种情况讨论求得即可；

（3）设向下平移后的抛物线表达式是：y＝x2﹣2x+n，得点D（0，n），即可求得P（2，n），代入y＝x﹣2求得n＝﹣1，即可求得平移后的解析式为y＝x2﹣2x﹣1．求得顶点坐标，然后解直角三角形即可求得结论．

【解答】解：（1）由题意，抛物线y＝x2+bx经过点A（2，0），

得0＝4+2b，解得b＝﹣2，

∴抛物线的表达式是y＝x2﹣2x．

∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，

∴它的顶点的坐标是（1，﹣1）．

（2）∵直线与x轴交于点B，

∴点B的坐标是（4，0）．

①将抛物线y＝x2﹣2x向右平移2个单位，使得点A与点B重合，

此时平移后的抛物线表达式是y＝（x﹣3）2﹣1．

②将抛物线y＝x2﹣2x向右平移4个单位，使得点O与点B重合，

此时平移后的抛物线表达式是y＝（x﹣5）2﹣1．

（3）如图，设向下平移后的抛物线表达式是：y＝x2﹣2x+n，得点D（0，n）．

∵DP∥x轴，∴点D、P关于抛物线的对称轴直线x＝1对称，

∴P（2，n）．

∵点P在直线BC上，∴．

∴平移后的抛物线表达式是：y＝x2﹣2x﹣1．

∴新抛物线的顶点M的坐标是（1，﹣2）．∴MC∥OB，

∴∠MCP＝∠OBC．

在Rt△OBC中，，

由题意得：OC＝2，，

∴．

即∠MCP的正弦值是．

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质，解直角三角形等，正确求得平移后的解析式是解题的关键．

7．（2020?松江区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+3与x轴和y

轴的正半轴分别交于A、B两点，且OA＝OB，抛物线的顶点为M，联结AB、AM．

（1）求这条抛物线的表达式和点M的坐标；