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第三章函数的导数
2008／11／06
§3.1导数的定义
一、问题的提出
1.自由落体运动的瞬时速度问题
目的：
取极限得
2.切线问题
割线的极限位置——切线位置
如图,
如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.
极限位置即
二、导数的定义
定义
其它形式
即
★
★
有关导数的阐明：
注意:
★
★
2.右导数:
单侧导数
1.左导数:
★
★
三、由定义求导数
环节:
例1
解
例2
解
类似可得：
例3
解
更普通地
例如,
例4
解
例5
解
例6
解
四、导数的几何意义与物理意义
1.几何意义
切线方程为
法线方程为
例7
解
由导数的几何意义,得切线斜率为
所求切线方程为
法线方程为
2.物理意义
非均匀变化量的瞬时变化率.
变速直线运动:路程对时间的导数为物体的瞬时速度.
交流电路:电量对时间的导数为电流强度.
非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的导数为物体
的线(面,体)密度.
五、可导与持续的关系
定理可导函数都是持续函数.
证
注意:该定理的逆定理不成立.
持续函数不存在导数举例
例如,
★
例如,
例如,
例8
解
六、小结
1.导数的实质:增量比的极限;
3.导数的几何意义:切线的斜率;
4.函数可导一定持续，但持续不一定可导;
5.求导数最基本的办法:由定义求导数.
6.判断可导性
不持续,一定不可导.
持续
直接用定义;
看左右导数与否存在且相等.
作业(数学分析习题集)
习题3.1导数的定义
1；2；3；4；5;7;8；10;12.
思考题
思考题解答
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