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广东省茂名市电白区2023届高三下学期半期联合考试数学试题
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量,是单位向量,若,则()
A. B. C. D.
2.集合,则()
A. B. C. D.
3.正三棱锥底面边长为3,侧棱与底面成角,则正三棱锥的外接球的体积为()
A. B. C. D.
4.已知为坐标原点,角的终边经过点且,则()
A. B. C. D.
5.设,,则的值为()
A. B.
C. D.
6.已知,则“直线与直线垂直”是“”的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.已知正方体的体积为,点,分别在棱,上,满足最小,则四面体的体积为
A. B. C. D.
8.已知函数若恒成立,则实数的取值范围是()
A. B. C. D.
9.阅读如图的程序框图,若输出的值为25,那么在程序框图中的判断框内可填写的条件是()
A. B. C. D.
10.若x,y满足约束条件的取值范围是
A.[0,6] B.[0,4] C.[6, D.[4,
11.已知平面,,直线满足,则“”是“”的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.即不充分也不必要条件
12.已知双曲线的一条渐近线倾斜角为,则()
A.3 B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.设数列为等差数列,其前项和为,已知,,若对任意都有成立,则的值为__________.
14.设为数列的前项和,若,则____
15.在的二项展开式中,x的系数为________.(用数值作答)
16.已知全集,集合则_____.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)如图1,与是处在同-个平面内的两个全等的直角三角形,,,连接是边上一点,过作,交于点,沿将向上翻折,得到如图2所示的六面体
(1)求证:
(2)设若平面底面,若平面与平面所成角的余弦值为,求的值;
(3)若平面底面,求六面体的体积的最大值.
18.(12分)如图,在四棱锥中,,,,底面为正方形,、分别为、的中点.
(1)求证:平面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
19.(12分)已知椭圆:的离心率为,直线:与以原点为圆心,以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.为左顶点,过点的直线交椭圆于,两点,直线,分别交直线于,两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)以线段为直径的圆是否过定点?若是,写出所有定点的坐标;若不是,请说明理由.
20.(12分)已知函数(是自然对数的底数,).
(1)求函数的图象在处的切线方程;
(2)若函数在区间上单调递增,求实数的取值范围;
(3)若函数在区间上有两个极值点,且恒成立,求满足条件的的最小值(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值).
21.(12分)已知点,若点满足.
(Ⅰ)求点的轨迹方程;
(Ⅱ)过点的直线与(Ⅰ)中曲线相交于两点,为坐标原点,求△面积的最大值及此时直线的方程.
22.(10分)如图,在四棱锥中,底面,,,,为的中点,是上的点.
(1)若平面,证明:平面.
(2)求二面角的余弦值.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.C
【解析】
设,根据题意求出的值,代入向量夹角公式,即可得答案;
【详解】
设,,
是单位向量,,
,,
联立方程解得:或
当时,;
当时,;
综上所述:.
故选:C.
【点睛】
本题考查向量的模、夹角计算,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,求解时注意的两种情况.
2.D
【解析】
利用交集的定义直接计算即可.
【详解】
,故,
故选:D.
【点睛】
本题考查集合的交运算,注意常见集合的符号表示,本题属于基础题.
3.D
【解析】
由侧棱与底面所成角及底面边长求得正棱锥的高,再利用勾股定理求得球半径后可得球体积.
【详解】
如图,正三棱锥中,是底面的中心,则是正棱锥的高,是侧棱与底面所成的角,即=60°,由底面边长为3得,
∴.
正三棱锥外接球球心必
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