《测度论》课程教学大纲.docx

测度论教学大纲

课程编号：120502B

课程类型：□通识教育必修课□通识教育选修课

□学科基础课?专业核心课

□专业提升课□专业拓展课

总学时：32讲课学时：32实验（上机）学时：0

学分：2

考试类型：□考试?考查

适用对象：统计学专业

□是?否适合作为其他专业学生的个性化选修课

先修课程：数学分析、概率论

教学目标

测度论是现代数学的一个重要分支，同时也是现代概率理论的数学基础。其在抽象空间上建立的包括积分和微分的一整套分析系统，已成为数学各分支的有力工具，在遍历论、随机过程、微分方程、微分几何、统计与金融数学等领域有着广泛而深刻的应用。本课程旨在介绍测度论的基本概念和基本理论。通过本课程的学习，使学生能初步掌握抽象空间上的测度与积分理论以及概率论的公理化体系，同时领会抽象概念和定理的直观涵义，为进一步的学习和研究提供必要的数学基础。

目标1：初步掌握抽象空间上测度和积分的一般理论；

目标2；以实空间和概率空间为例，掌握测度论中简单证明方法的一些基本技巧；

目标3：掌握统计学中常用的经验测度、计数测度、相合性等概念的理论基础，为统计学的进一步学习打好基础；

目标4：学习测度论公理化体系建立过程中的曲折历史，培育学生实事求是的研究精神。通过比较测度论与实变函数以及概率论相关内容的关系，让同学们更深刻理解唯物辩证法中具体和抽象的对立统一关系。

二、教学内容及其与毕业要求的对应关系

（一）教学内容

可测空间与单调类定理，测度空间与扩张定理，可测函数的积分与积分收敛定理，符号测度、不定积分、Radon-Nikodym导数与Lebesgue分解定理，乘积空间与Fubini定理。

（二）教学方法和手段

教师课上讲授理论知识内容及相关基本例题，学生课下练习及教师答疑、辅导相结合。

（三）考核方式

开卷，平时成绩占30%，期末成绩占70%。

（四）学习要求

课上听讲，并独立完成课后作业。

三、各教学环节学时分配

以表格方式表现各章节的学时分配，表格如下：

教学课时分配

序号

章节内容

讲课

实验

其他

合计

1

可测空间

4

4

2

测度空间

5

5

3

可测函数的积分

10

10

4

符号测度与R-N导数

8

8

5

乘积空间

5

5

合计

32

32

四、教学内容

第一章可测空间

第一节集类

1. 集合代数

2. 集合代数的结构

第二节可测空间

1. 西格玛代数

2. 可测空间的结构

第三节单调类定理

1. 单调类

2. 单调类定理

教学重点、难点：集类、可测空间的结构、单调类定理。

课程的考核要求：了解集类的概念，理解可测空间的结构、掌握单调类定理的证明与应用。

课程思政切入点：了解测度论的发展历史，学习测度论严格化过程中相关数学家实事求是的科学精神。

复习思考题：

1. 可列可加性在可测空间的定义中起什么作用？

2. 如何应用单调类定理？

第二章测度空间

第一节测度空间的定义与性质

1. 测度空间定义

2. 测度空间性质

第二节外测度与测度扩张

1. 外测度

2. 测度扩张定理

第三节测度空间的完备化

1. 完备测度空间

2. 测度空间的完备化

第四节实可测空间

1. Borel代数

2. 实可测空间上的L-S测度

教学重点、难点：测度空间的定义与性质、测度扩张定理、实可测空间上的测度。

课程的考核要求：理解测度空间的定义与性质、掌握测度空间的构造方法、了解测度的逼近与完备化。

课程思政切入点：了解抽象空间测度论与实空间理论、概率论等具体学科的相互关系，明白理论和实践的对立统一关系。

复习思考题：

1. 复习在可测空间上构造测度的一般方法。

2. 从分析学的角度，该如何把握任意可测集的测度？

第三章可测函数的积分

第一节可测映射与可测函数

1. 可测函数的定义与结构

2. 可测函数的性质与运算

3. 函数形式的单调类定理

第二节积分的定义与性质

1. 可测函数的积分定义

2. 可测函数的积分性质

第三节积分收敛定理

1. 单调收敛定理

2. Fatou引理

3. 控制收敛定理

第四节积分变换公式

1. 积分变换公式

2. 随机变量数字特征的L-S积分表示

教学重点、难点：可测函数定义与性质、积分定义与性质、积分收敛定理、积分变换公式。

课程的考核要求：掌握积分定义与性质、掌握积分收敛定理和变换公式。

复习思考题：

1. 思考勒贝格积分与黎曼积分的区别与联系？

2. 为什么要研究积分收敛定理？

第四章符号测度与R-N导数

第一节符号测度

1. 符号测度

2. 不定积分

第二节Hahn分解Jordan分解

1. Hahn分解

2. Jordan分解

第三节Lebesgue分解与R-N导数