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广东省中山市重点中学2023届第一次高考模拟考试数学试题
注意事项
1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.
2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.
4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.
5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知为圆:上任意一点,,若线段的垂直平分线交直线于点,则点的轨迹方程为()
A. B.
C.() D.()
2.若不相等的非零实数,,成等差数列,且,,成等比数列,则()
A. B. C.2 D.
3.二项式的展开式中,常数项为()
A. B.80 C. D.160
4.()
A. B. C. D.
5.已知函数是奇函数,则的值为()
A.-10 B.-9 C.-7 D.1
6.一个算法的程序框图如图所示,若该程序输出的结果是,则判断框中应填入的条件是()
A. B. C. D.
7.若的展开式中含有常数项,且的最小值为,则()
A. B. C. D.
8.设且,则下列不等式成立的是()
A. B. C. D.
9.某空间几何体的三视图如图所示(图中小正方形的边长为1),则这个几何体的体积是()
A. B. C.16 D.32
10.已知偶函数在区间内单调递减,,,,则,,满足()
A. B. C. D.
11.的内角的对边分别为,若,则内角()
A. B. C. D.
12.函数fx
A. B.
C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.的展开式中,的系数是__________.(用数字填写答案)
14.设命题:,,则:__________.
15.在边长为的菱形中,点在菱形所在的平面内.若,则_____.
16.函数的极大值为______.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)在中,,.已知分别是的中点.将沿折起,使到的位置且二面角的大小是60°,连接,如图:
(1)证明:平面平面
(2)求平面与平面所成二面角的大小.
18.(12分)已知椭圆的离心率为,直线过椭圆的右焦点,过的直线交椭圆于两点(均异于左、右顶点).
(1)求椭圆的方程;
(2)已知直线,为椭圆的右顶点.若直线交于点,直线交于点,试判断是否为定值,若是,求出定值;若不是,说明理由.
19.(12分)在平面直角坐标系中,已知椭圆的中心为坐标原点焦点在轴上,右顶点到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若是椭圆上关于轴对称的任意两点,设,连接交椭圆于另一点.求证:直线过定点并求出点的坐标;
(3)在(2)的条件下,过点的直线交椭圆于两点,求的取值范围.
20.(12分)已知为各项均为整数的等差数列,为的前项和,若为和的等比中项,.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,求最大的正整数,使得.
21.(12分)已知函数,曲线在点处的切线方程为.
(Ⅰ)求,的值;
(Ⅱ)若,求证:对于任意,.
22.(10分)如图,在四边形ABCD中,AB//CD,∠ABD=30°,AB=2CD=2AD=2,DE⊥平面ABCD,EF//BD,且BD=2EF.
(Ⅰ)求证:平面ADE⊥平面BDEF;
(Ⅱ)若二面角CBFD的大小为60°,求CF与平面ABCD所成角的正弦值.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.B
【解析】
如图所示:连接,根据垂直平分线知,,故轨迹为双曲线,计算得到答案.
【详解】
如图所示:连接,根据垂直平分线知,
故,故轨迹为双曲线,
,,,故,故轨迹方程为.
故选:.
【点睛】
本题考查了轨迹方程,确定轨迹方程为双曲线是解题的关键.
2.A
【解析】
由题意,可得,,消去得,可得,继而得到,代入即得解
【详解】
由,,成等差数列,
所以,又,,成等比数列,
所以,消去得,
所以,解得或,
因为,,是不相等的非零实数,
所以,此时,
所以.
故选:A
【点睛】
本题考查了等差等比数列的综合应用,考查了学生概念理解,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.
3.A
【解析】
求出二项式的展开式的通式,再令的次数为零,可得结果.
【详解】
解
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