数学导学案：角的概念的推广.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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§2角的概念的推广

问题导学

1．角的概念的理解

活动与探究1

时钟走了3小时20分,则分针所转过的角的度数为多少？时针所转过的角的度数为多少？

迁移与应用

已知A＝{锐角}，B＝｛α｜0°≤α＜90°｝，C＝{第一象限角｝，D＝｛小于90°的角}，求A∩B，A∪C，C∩D，A∪D．

对推广后角的概念的理解．

（1)紧紧抓住“旋转”二字，用运动的观点来看角．

(2）结合实际意义明确角的概念经过推广后，角的范围不再局限于0°～360°，而是包括正角、负角和零角．

(3)正确理解正角、负角和零角的概念，既要注意始边位置和旋转量，又要注意旋转方向是逆时针、顺时针，还是没有转动．

2．终边相同的角及象限角

活动与探究2

已知α＝－1910°．

（1）把α写成β＋k×360°(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限的角；

(2）求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°．

迁移与应用

将下列各角表示为k·360°＋α(k∈Z，0°≤α＜360°)的形式，并指出是第几象限角．

（1）－1840°;(2)1690°．

终边相同的角相差360°的整数倍．判定一个角在第几象限,只要找与它终边相同的0°～360°范围内的角,这个0°~360°范围内的角所在象限即为所求．

3．区域角的表示

活动与探究3

如图所示,写出终边落在阴影部分(实线包括边界，虚线不包括边界)的角的集合．

迁移与应用

如图所示,写出终边落在图中阴影部分(实线包括边界，虚线不包括边界)的角的集合．

区域角及其表示方法

区域角是指终边落在平面直角坐标系的某个区域内的角．其写法可分为三步：

（1)先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；

(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°到360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α＜x＜β}；

(3)根据旋转的观点把起始、终止边界对应角α、β加上k·360°（k∈Z）．

特别地,如“活动与探究3”中，若是对顶区域，如图②，可用一个表达式表示：先在一个阴影中找出区间角如[45°，90°］,然后再在两边加上n×180°(n∈Z)即可；若区域包括了x轴非负半轴,则可由负角到正角，如图③，两边再加上k×360°(k∈Z)．

4．已知α角所在的象限,判断角eq\f(α，2）的终边所在的位置

活动与探究4

已知角α是第二象限角,试判断角eq\f（α，2）是第几象限角．

迁移与应用

已知角α是第一象限角,试判断2α，eq\f(α，2）是第几象限角．

与象限角有关的角的范围求法：

（1)解决与象限角有关的角的范围问题时，必须熟练掌握各象限角的表示，

第一象限角：{α｜k×360°＜α＜90°＋k×360°，k∈Z｝

第二象限角：｛α|90°＋k×360°＜α＜180°＋k×360°，k∈Z}

第三象限角：{α｜180°＋k×360°＜α＜270°＋k×360°,k∈Z}

第四象限角：{α|270°＋k×360°＜α＜360°＋k×360°，k∈Z}

（2）已知α角所在的象限,确定eq\f（α,2）所在象限,方法一：是将k分为2n,2n＋1这两种情况讨论分析，再进行判断;

方法二：作出各个象限的角平分线，它们与坐标轴把周角等分成8个区域，从x轴的非负半轴起，按逆时针方向把这8个区域依次循环标上号码1、2、3、4,则标号是几的两个区域,就是α为第几象限角时，eq\f（α,2)终边落在的区域,即eq\f（α，2)所在的象限就可以直观地看出，如图所示．

当堂检测

1．已知α是第四象限角,则eq\f（α，2)是（）．

A．第一或第二象限角

B．第二或第三象限角

C．第二或第四象限角

D．第三或第四象限角

2．给出下列四个命题:①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角;③475°是第二象限角；④－615°是第一象限角．其中正确的命题有()．

A．1个B．2个

C．3个D．4个

3．与405°角终边相同的角是()．

A．k·360°－45°,k∈ZB．k·360°－405°，k∈Z

C．k·360°＋45°，k∈ZD．k·180°＋45°,k∈Z

4．(1）一个30°的角，将其终边按逆时针方向旋转三周，则旋转后的角是________．

(2）若时钟走过2小时40分,则分针转过的角度是________．

5．终边在第一、三象限角平分线上的角的集合为________;终边在第二、四象限角平分线上的角的集合为________．

提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。

答案：

课前预习导学

【预习导引】

1．一条射