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8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系

(教师独具内容)

课程标准：1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.2.结合图形，正确理解空间中直线与直线的位置关系(特别是两条直线的异面关系).3.掌握直线与平面的交点个数、位置关系及符号表示．

教学重点：空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系．

教学难点：用图形表示直线与平面、平面与平面的位置关系及其应用．

核心素养：通过空间点、直线、平面之间的位置关系的学习过程培养直观想象素养和数学抽象素养.

知识点一空间中直线与直线的位置关系

1．空间两条直线的位置关系有且只有三种

eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直线\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\x(\s\up1(01))相交直线：在同一平面内，\x(\s\up1(02))有且只有一个公共点.,\x(\s\up1(03))平行直线：在同一平面内，\x(\s\up1(04))没有公共点.)),\x(\s\up1(05))异面直线：\x(\s\up1(06))不同在任何一个平面内，\x(\s\up1(07))没有公共点.))

2．异面直线的画法

知识点二空间中直线与平面的位置关系

位置关系

公共点

符号表示

图形表示

直线在平面内

eq\x(\s\up1(01))无数个

eq\x(\s\up1(02))a?α

直线

在平

面外

直线与

平面相交

eq\x(\s\up1(03))1个

eq\x(\s\up1(04))a∩α

＝A

直线与

平面平行

eq\x(\s\up1(05))0个

eq\x(\s\up1(06))a∥α

知识点三空间中平面与平面的位置关系

1．位置关系：有且只有两种：

①两个平面平行——eq\x(\s\up1(01))没有公共点；

②两个平面相交——eq\x(\s\up1(02))有一条公共直线.

2．符号表示：两个平面α，β平行，记为α∥β；两个平面α，β相交于直线l，记为eq\x(\s\up1(03))α∩β＝l.

3．图示：两个平面α，β平行，如图①所示；两个平面α，β相交于直线l，如图②所示．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)两条直线若不是异面直线，则必相交或平行．()

(2)两条直线无公共点，则这两条直线平行．()

(3)若直线a在平面α外，则a∥α.()

(4)若直线与平面不相交，则直线与平面平行．()

答案(1)√(2)×(3)×(4)×

2．做一做

(1)如图所示，用符号语言可表示为()

A．α∩β＝l

B．α∥β，l∈α

C．l∥β，l?α

D．α∥β，l?α

(2)过直线l外一点P，有________个平面与l平行．

(3)已知点A?α，则过点A与平面α有公共点的直线与平面α一定________.

(4)过平面α外一点P，有________个平面与α平行．

答案(1)D(2)无数(3)相交(4)一

题型一空间两条直线位置关系的判断

例1已知a，b，c是三条直线，如果a与b是异面直线，b与c是异面直线，那么a与c有怎样的位置关系？并画图说明．

[解]直线a与直线c的位置关系可以是平行、相交、异面．如图(1)(2)(3)．

判定两条直线是异面直线的方法

(1)定义法：由定义判断两条直线不可能在同一平面内．

(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A?α，B∈α，l?α，B?l?AB与l是异面直线(如图)．

[跟踪训练1]如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，判断下列直线的位置关系：

(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；

(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；

(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；

(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________.

答案(1)平行(2)异面(3)相交(4)异面

解析首先看两直线是否有交点，判断是否是相交，然后在没有交点的两直线中判断这两直线是否在一个平面内，如果不在，那么两直线异面．

本题中直线A1B与直线D1C都在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线平行，所以(1)应该填“平行”；直线D1D与直线D1C相交于点D1，所以(3)应该填“相交”；点A1，B，B1在一个平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C异面．同理，直线AB与直线B1C异面，所以(2)(4)都应该填“异面”.

题型二直线与平面的位置关系

例2(1)(2023·湖北宜昌一中高一下月考)若一直线上有一点在