8.6　8.6.3　第2课时　平面与平面垂直的性质.doc

第2课时平面与平面垂直的性质

(教师独具内容)

课程标准：从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中平面与平面的垂直关系，归纳出平面与平面垂直的性质定理．

教学重点：探究、发现平面与平面垂直的性质定理．

教学难点：平面与平面垂直的性质定理、判定定理的综合应用．

核心素养：1.通过从教材的实例中归纳出平面与平面垂直的性质定理的过程培养数学抽象素养.2.通过利用平面与平面垂直的性质定理解决与垂直相关的问题提升逻辑推理素养.

知识点平面与平面垂直的性质定理

文字语言

两个平面垂直，eq\x(\s\up1(01))如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直

符号语言

eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝l,\x(\s\up1(02))a?α,\x(\s\up1(03))a⊥l))?a⊥β

图形语言

作用

①面面垂直?eq\x(\s\up1(04))线面垂直；

②作面的垂线

平面与平面垂直的其他性质与结论(1)如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，即α⊥β，A∈α，A∈b，b⊥β?b?α.

(2)如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面，即α⊥β，γ∥β?γ⊥α.

(3)如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内，即α⊥β，b⊥β?b∥α或b?α.

(4)如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面，即α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ?l⊥γ.

(5)三个两两垂直的平面的交线也两两垂直，即α⊥β，α∩β＝l，β⊥γ，β∩γ＝m，γ⊥α，γ∩α＝n?l⊥m，m⊥n，l⊥n.

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)如果两个平面垂直，那么一个平面内的直线一定垂直于另一个平面．()

(2)如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．()

(3)若平面α⊥平面β，且平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则直线a必垂直于平面β.()

答案(1)×(2)√(3)×

2．做一做

(1)在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1()

A．平行 B．共面

C．垂直 D．不垂直

(2)如图所示，平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈平面α，AB⊥l，垂足为B，C∈平面β，若AB＝3，BC＝4，则AC＝________.

答案(1)C(2)5

题型一垂直关系的相互转化

例1已知m，n表示直线，α，β，γ表示平面，给出下列三个命题：

①若α∩β＝m，n?α，n⊥m，则n⊥β；

②若α⊥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则n⊥m；

③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β.

其中正确的命题是()

A．①② B．③

C．②③ D．①②③

[解析]对于①，依据线面垂直的判定定理，一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，才能得到该直线与此平面垂直，而n只与β内的一条直线m垂直，不能得到n⊥β，故①不正确；对于②，如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，平面DCC′D′⊥平面ABCD，平面ABC′D′与平面DCC′D′的交线为C′D′，与平面ABCD的交线为AB，但C′D′∥AB，故②不正确；对于③，由于m⊥α，m⊥n，则n在平面α内或n∥α.若n在平面α内，由n⊥β可得α⊥β；若n∥α，过n作平面与α交于直线l，则n∥l，由n⊥β得l⊥β，从而α⊥β，故③正确．故选B.

[答案]B

空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种关系不是孤立的，而是相互关联的．它们之间的转化关系如下：

eq\x(线线垂直)eq\o(,\s\up12(判定定理),\s\do10(线面垂直定义))eq\x(线面垂直)eq\o(,\s\up12(判定定理),\s\do10(性质定理))eq\x(面面垂直)

[跟踪训练1]若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是()

A．若m?β，α⊥β，则m⊥α

B．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β

C．若m⊥β，m∥α，则α⊥β

D．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ

答案C

解析由线面平行、垂直的有关知识可排除A，B，D；对于C，因为m∥α，过m作平面γ交α于m′，则m′∥m，由于m⊥β，故m′⊥β，又m′?α，则α⊥β，所以C正确.

题型二平面与平面垂直性质定理的应用

例2如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，G为AD边中点，四