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2020年北京一模——新定义问题

1．在△ABC中，CD是△ABC的中线，如果上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称为△ABC的中线弧．

（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，D是AB的中点．

①如图1，若∠A＝45°，画出△ABC的一条中线弧，直接写出△ABC的中线弧所在圆的半径r的最小值；

②如图2，若∠A＝60°，求出△ABC的最长的中线弧的弧长l．

（2）在平面直角坐标系中，已知点A（2，2），B（4，0），C（0，0），在△ABC中，D是AB的中点．求△ABC的中线弧所在圆的圆心P的纵坐标t的取值范围．

【答案】（1）①图见解析，，②；（2）t≥5或t≤﹣

【分析】

（1）①如图1中，当中线弧的圆心是AC或BC的中点时，所在圆的半径r的最小．

②如图2中，当中线弧所在的圆与AC，AB都相切时，的弧长最大．

（2）分两种情形：如图3中，若中线弧在线段CD的下方时，如图4中，若中线弧在线段CD的上方时，分别求解即可解决问题．

【详解】

解：（1）①如图1中，当直线弧的圆心是AC或BC的中点时，所在圆的半径r的最小，

当∠A＝45°，

此时r＝AC＝，

∴△ABC的中线弧所在圆的半径r的最小值为．

②如图2中，当中线弧所在的圆与AC，AB都相切时，的弧长最大，

此时，的圆心在BC上，

∵ND⊥BD，

∴∠NDB＝90°，

∵∠A＝60°，∠ACB＝90°，

∴∠B＝30°，

∴BN＝2DN＝2CN，

∴3CN＝BC＝，

∴CN＝，

∴半径为．

∴△ABC的最长的中线弧的弧长l；

（2）如图3中，若中线弧在线段CD的下方时，

∵△ABC的中线弧所在的圆的圆心在线段CD使得垂直平分线上，

当中线弧所在圆与BC相切时，可得P（0，5），

观察图象可知中线弧所在圆的圆心P的纵坐标t≥5．

如图4中，若中线弧在线段CD的上方时，

当中线弧所在圆与AC相切时，可得P（，﹣），

观察图象可知中线弧所在圆的圆心P的纵坐标t≤﹣．

综上所述，中线弧所在圆的圆心P的纵坐标t的取值范围为：t≥5或t≤﹣．

【点睛】

本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，△ABC的中线弧的定义，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会利用特殊位置解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．

2．对于平面直角坐标系xOy中的图形W1和图形W2．给出如下定义：在图形W1上存在两点A，B（点A，B可以重合），在图形W2上存在两点M，N，（点M于点N可以重合）使得AM=2BN，则称图形W1和图形W2满足限距关系

(1)如图1，点C(1，0)，D(1，0)，E(0，)，点P在线段DE上运动(点P可以与点D，E重合)，连接OP，CP．

①线段OP的最小值为_______，最大值为_______；线段CP的取值范直范围是_____；

②在点O，点C中，点____________与线段DE满足限距关系；

(2)如图2，⊙O的半径为1，直线(b0)与x轴、y轴分别交于点F，G．若线段FG与⊙O满足限距关系，求b的取值范围；

(3)⊙O的半径为r(r0)，点H，K是⊙O上的两个点，分别以H，K为圆心，1为半径作圆得到⊙H和?K，若对于任意点H，K，⊙H和⊙K都满足限距关系，直接写出r的取值范围．

【答案】（1）①，，，②O；（2）；（3）0＜r≤3．

【分析】

（1）①根据垂线段最短以及已知条件，确定OP，CP的最大值，最小值即可解决问题．②根据限距关系的定义判断即可．

（2）直线与x轴、y轴分别交于点F，G（0，b），分三种情形：①线段FG在⊙O内部，②线段FG与⊙O有交点，③线段FG与⊙O没有交点，分别构建不等式求解即可．

（3）如图3中，不妨设⊙K，⊙H的圆心在x轴上位于y轴的两侧，根据⊙H和⊙K都满足限距关系，构建不等式求解即可．

【详解】

（1）①如图1中，

∵D（1，0），E(0，)，

∴OD=1，，

∴，

∴∠EDO=60°，

当OP⊥DE时，，此时OP的值最小，

当点P与E重合时，OP的值最大，最大值为，

当CP⊥DE时，CP的值最小，最小值，

当点P与D或E重合时，PC的值最大，最大值为2，

故答案为：，，.

②根据限距关系的定义可知，线段DE上存在两点M，N，满足OM=2ON，

故点O与线段DE满足限距关系．

故答案为O．

（2）直线与x轴、y轴分别交于点F，G（0，b），

当0＜b＜1时，线段FG在⊙O内部，与⊙O无公共点，

此时⊙O上的点到线段FG的最小距离为1b，最大距离为1+b，

∵线段FG与⊙O满足限距关系，

∴1+b≥2（1b），

解得，

∴b的取值范围为．

当1≤b≤2时，线段FG与⊙O有公共点，线段FG与⊙O满足限距关系，

当b＞2时，线段FG在⊙O的外部，与⊙O没有公共点，

此时⊙O上的点