2024三角恒等变换（含答案）.pdf

复习材料

5.5三角恒等变换（精讲）

一．两角和与差的余弦、正弦、正切公式

1.cos(α－β)cosαcosβ＋sinαsinβcos(α＋β)cosαcosβ－sinαsinβ“同名相乘，符号反”

2.sin(α－β)sinαcosβ－cosαsinβsin(α＋β)sinαcosβ＋cosαsinβ“异名相乘，符号同”

tanα－tanβtanα＋tanβ

3.tan(α－β)tan(α＋β)“上同号，下1异号相乘”

1＋tanαtanβ1－tanαtanβ

二．二倍角公式

1

（1）sin2α2sinαcosα↔sin2αsinαcosα

2

2222

（2）cos2αcosα－sinα2cosα－11－2sinα

2tanα

（3）tan2α

－2

1tanα

三.辅助角公式

bb

asinx＋bcosxa2＋b2sin(x＋φ).其中tanφ，φ所在象限由a和b的符号确定，或者sinφ，cos

aa2＋b2

a

φ.

a2＋b2

一．给值求值

(1)在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角

之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是：

①当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差；

②当条件中只有一个已知角时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角.

(2)此类问题中，角的范围不容忽视，解题时往往需要根据三角函数值缩小角的范围.

二．给值求角

在选三角函数时，可按以下原则：一般地，已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数

π

若角的范围为(0，2)，选正弦函数和余弦函数都可；

ππ

若角的范围是(－，)，选正弦函数比余弦函数好；

22

若角的范围是(0，π)，选余弦函数比正弦函数好.

三．探究三角函数式化简、证明

(1)化简的要求

①能求出值的应求出值

②尽量使三角函数种数最少

③尽量使项数最少

④尽量使分母不含三角函数

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⑤尽量使被开方数不含三角函数.

（2）化简的思路

①对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式

②对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式

③对于二次根式，注意二倍角公式的逆用.

另外，还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法.

四．证明三角恒等式的原则与步骤

(1)观察恒等式的两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低次，复角化单角，如果两端都比较

复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想.

(2)证明恒等式的一般步骤：

①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；

②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明

的目的.

考点一两角和差公式的正用和逆用

2023··

【例1】（春山东青岛高一统考期中）下列等式成立的为（）

3

A．sin72°cos42°-cos72°sin42