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5.5.2简单的三角恒等变换
A级必备知识基础练
1.[探究点一]已知cosα=15,α∈(3π2,2π),则sin
A.105 B.-10
C.265
2.[探究点一·甘肃武威高一期末]已知sinα=55,cosα=255
A.2-5 B.2+5
C.5-2 D.±(5-2)
3.[探究点二]2cos(2x+π3)sin(2x-π3
A.12+cos4x B.1
C.32+cos4x D.-3
4.[探究点二]若sinα+sinβ=1213,cosα+cosβ=613,则tan
A.2 B.12
C.-2 D.-1
5.[探究点三·四川资阳高二阶段练习]函数f(x)=sinxcosx+cos2x的最小正周期为()
A.π4 B.π
C.π D.2π
6.[探究点二·苏教版教材习题改编]sin20°-sin40°
7.[探究点一]已知180°α270°,且sin(α+270°)=45,则sinα2=,tanα2
8.[探究点二]若cosπ4+θcosπ4-θ=1
B级关键能力提升练
9.若函数f(x)=(1+3tanx)cosx,则fπ12
A.6-22
C.1 D.2
10.若3πx4π,则1+cosx2
A.2cos(π4-x2) B.-2
C.2sin(π4-x2) D.-2
11.设函数f(x)=2cos2x+3sin2x+a(a为实常数)在区间0,
A.4 B.-6 C.-4 D.-3
12.已知等腰三角形的顶角的余弦值等于725
A.34 B.35 C.1
13.若cosθ=-725,θ∈(π,2π),则sinθ2+cosθ2=,sinθ2-cos
C级学科素养创新练
14.已知sinA+sinB+sinC=0,cosA+cosB+cosC=0,求证:cos2A+cos2B+cos2C=32
答案:
1.A∵α∈(3π2,2π),∴α2∈(3π4,π)
2.C∵sinα=55,cosα=255,∴
3.D2cos(2x+π3)sin(2x-π3)=sin[(2x+π3)+(2x-π3)]-sin[(2x+π3)-(2x-π3
4.A由sinα+sinβ=sin(α+β2+α-β2)+sin(α+β
cosα+cosβ=cos(α+β2+α-β2)+cos(α+β
两式相除得tanα+β2
5.C由二倍角公式和辅助角公式化简f(x)=sinxcosx+cos2x,
可得f(x)=12sin2x+cos2x=5
由三角函数的周期公式可得最小正周期T=2π2
6.-3原式=sin(30°-10°)-
7.31010-3∵sin(α+270°)=-cosα=
∴cosα=-45
又180°α270°,∴90°α2
∴sinα2=1-cosα2=
8.58cosπ4
=cosπ4+θ
=12sin
=12cos2θ=1
∴cos2θ=12
∴sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=1-12sin22θ=1-12(1-cos22θ)=1-
9.D∵f(x)=1+3·sinxcosxcosx=cosx+
∴fπ12=2sinπ12+
10.C因为3πx4π,
所以3π2x22π,sin
于是1+cosx2+1-cosx2=|cosx2|+|sinx2|=cosx2-sinx2=2
11.Cf(x)=2cos2x+3sin2x+a=1+cos2x+3sin2x+a=2sin2x+π
当x∈0,π2时,2x+π6∈π6,7π
12.B设等腰三角形的顶角为α,底角为β,则cosα=725,则sinα
又β=π2-α2,即cosβ=cosπ2
13.1575因为θ
所以sinθ2
cosθ2=-1+cosθ2=-
所以sinθ2+cosθ2=15
14.证明由已知,得sinA+sinB=-sinC, ①
cosA+cosB=-cosC. ②
①2+②2,得2+2cos(A-B)=1,即cos(A-B)=-12
∴cos2A+cos2B+cos2C=cos2A+cos2B+(cosA+cosB)2=2cos2A+2cos2B+2cosAcosB
=1+cos2A+1+cos2B+2cosAcosB
=2+cos[(A+B)+(A-B)]+cos[(A+B)-(A-B)]+cos(A+B)+cos(A-B)
=2+cos(A+B)cos(A-B)+cos(A+B)+cos(A-B),代入cos(A-B)=-12得原式成立.
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