材料力学第五章 弯曲应力.ppt

第五章弯曲应力; 5.1弯曲正应力

上一章研究表明，一般情况下，梁横截面上同时存在剪力FS和弯矩M。由于只有切向微内力τdA才可能构成剪力，也只有法向微内力σdA才可能构成弯矩，如图5－1（a)所示。因此，在梁的横截面上将同时存在正应力σ和切应力τ（见图5－1(b)）。梁弯曲时横截面上的正应力与切应力分别称为弯曲正应力与弯曲切应力。;在图5－2(a)中，简支梁上的两个外力F对称地作用于梁的纵向对称面内，其剪力图、弯矩图如图5－2(b)、(c)所示。从图中可以看出，在AC、DB梁段内，横截面上既有剪力又有弯矩，因而既有切应力又有正应力，这种弯曲称为横力弯曲或剪切弯曲；在CD段内梁横截面上的剪力为零，弯矩为常量，因而横截面上只有正应力而无切应力，这种弯曲称为纯弯曲。研究梁的弯曲正应力，必须从试验现象分析入手，综合考虑几何、物理与静力学三方面因素。;图5－1;图5－2;试验与假设

首先观察梁的变形。研究具有纵向对称截面的梁（如矩形截面梁），在梁表面画出平行于轴线的纵线ab、cd以及垂直于轴线的横线1－1、2－2（见图5－3(a)），然后在梁纵向对称面内加载，使梁处于纯弯曲状态，其弯矩为M（见图5－3(b)），可观察到以下现象：

(1）梁表面的横线仍为直线，仍与纵线正交，只是各横线作相对转动。

（2）纵线由直线弯成同心圆弧线，靠近梁底面的纵线伸长，靠近梁顶面的纵线缩短。

（3）原来的矩形截面，下部变窄，上部变宽。;图5－3;根据上述现象，提出以下假设：

（1）平面假设:变形后，横截面仍保持平面，且仍与变形后的轴线正交。在变形过程中，横截面只不过发生了“刚性”转动。

（2）单向受力假设:梁的纵向“纤维”仅发生轴向伸长或缩短，即只承受轴向拉力或压力。也就是说，纵向“纤维”之间无挤压作用。;图5－4;上述假设已被众多实验和理论分析所证实。

根据平面假设，梁弯曲时上面部分纵向“纤维”伸长，下面部分纵向“纤维”缩短，由变形连续性假设可知，从伸长区到缩短区，其间必存在一层既不伸长也不缩短的过渡层，将这层长度不变的“纤维”层称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴（见图5－4）。平面弯曲时，梁的变形对称于纵向对称面，故中性轴必然垂直于截面的纵向对称轴。

因此，梁纯弯曲的特征为：保持平面的横截面绕中性轴作相对转动，且正交于变形后的梁轴线;纵向“纤维”均处于单向受力状态。;弯曲正应力的一般公式

推导纯弯曲梁横截面的正应力公式，需从几何关系、物理关系和静力学三方面来考虑。

1.几何关系

纯弯曲时梁的纵向“纤维”由直线变为圆弧，相距dx的两横截面1′－1′和2′－2′绕各自中性轴发生相对转动，如图5－5所示。横截面1′－1′和2′－2′的延长线相交于O点，O即为中性层的曲率中心。设中性层的曲率半径为ρ，此两横截面夹角为dθ，则距中性层为y处的纵向“纤维”原始长度为ab，变形后长度为a′b′。该纤维的正应变为;图5－5;实际上，由于距中性层等远处各纵向“纤维”的变形相同，因此，上述正应变ε即代表距中性层为y的任一纵向“纤维”的正应变。;图5－6;2.物理关系

根据纵向纤维假设，各纵向“纤维”处于单向拉伸或压缩状态，因此，当正应力不超过材料的比例极限时，胡克定律成立，由此得横截面上距中性层y处的正应力为;3.静力学关系

上面虽已得到正应力分布规律，但还不能用式（b）直接计算梁纯弯曲时横截面上的正应力。至此有两个问题尚未解决：一是中性层的曲率半径ρ未知；二是中性轴位置未知，故式（b）中的y还无法确定。要解决这两个问题，需从静平衡关系入手。;设横截面的纵向对称轴为y轴，中性轴为z轴，梁轴线为x轴，绕点（y,z）取一微面积dA，作用在其上的法向微内力为σdA（见图5－7），横截面上各点的法向微内力σdA组成一空间平行力系，而且横截面上不存在轴力，仅存在位于x－y平面内的弯矩M，根据静平衡关系有;图5－7;由于故;上式表明，中性层的曲率1/ρ与弯矩M成正比，与抗弯刚度成反比。惯性矩Iz综合地反映了横截面的形状与尺寸对弯曲变形的影响。

将式（5－1）代入式（b），可得纯弯曲时梁横截面上的正应力计算公式为;最大弯曲正应力

工程中最感兴趣的是横截面上的最大正应力，也就是横截面上距中性轴最远各点处的正应力。将y＝ymax代入式（5－2），可得;式(5－5)表明，最大弯曲正应力与弯矩成正比，与抗弯截面模量成反比。抗弯截面模量Wz综合地反映了横截面形状和尺寸对最大弯曲正应力的影响。

由附录A知，矩形截面、圆形截面及空心圆截面（见图5－8(a)、(b)、(c)）对z轴的惯性矩分别为;由式（