专题1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题12种常见考法归类（98题）（学生版） 2024-2025学年《考点通关》高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册).pdf

专题1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题12种常见考法归类（98题）

题型一求点到直线的距离（一）求线线角

（一）求点线距（二）求线线角的最值或范围

（二）根据点线距求值题型七已知线线角求其他量

（三）求点线距的最值题型八求直线与平面所成的角

题型二求点到平面的距离（一）求线面角

（一）求点面距（二）求线面角的最值或范围

（二）求点面距的最值题型九已知线面角求其他量

题型三求直线与平面的距离题型十求两平面的夹角（二面角）

题型四求两平行平面的距离题型十一已知面面角求其他量

题型五求两条异面直线的距离题型十二立体几何中的探索性问题

题型六求异面直线所成的角

知识点1用空间向量研究距离问题

1．点P到直线l的距离：



已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量APa在直线l上的

→

投影向量为AQ，则点P到直线l的距离为(如图)．

2．点P到平面α的距离：

→

|AP·n|

设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(如

|n|

图)．

注：1．两条平行直线a，b之间的距离

如图1，两条平行直线a，b之间的距离可以看成直线b上一点A到直线a的距离，则d＝

→

AB·a

→

|AB|2－2，其中A∈b，B∈a，a是直线a的方向向量．

|a|

2．异面直线a，b之间的距离

如图2，设A∈a，B∈b，与两条直线的方向向量都垂直的向量为n，则异面直线a，b之间的距离为向量

→

|AB·n|

→

AB在n方向上投影向量的模，即d＝.

|n|

3．直线到平面的距离、两平行平面间的距离都可转化为点到平面的距离

如图3，直线l到平面α的距离可转化为直线l上一点A到平面α的距离，即直线l到平面α的距离d＝

→

|AB·n|

.

|n|

→

|AB·n|

如图4，与平面α平行的平面β到平面α的距离等于平面β上一点A到平面α的距离，即d＝