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广西南宁第二中学2023届高三下学期(零班、培优、补习班)期中考试数学试题
注意事项
1.考生要认真填写考场号和座位序号。
2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知双曲线的一条渐近线为,圆与相切于点,若的面积为,则双曲线的离心率为()
A. B. C. D.
2.在边长为2的菱形中,,将菱形沿对角线对折,使二面角的余弦值为,则所得三棱锥的外接球的表面积为()
A. B. C. D.
3.已知函数的图像与一条平行于轴的直线有两个交点,其横坐标分别为,则()
A. B. C. D.
4.已知α,β是两平面,l,m,n是三条不同的直线,则不正确命题是()
A.若m⊥α,n//α,则m⊥n B.若m//α,n//α,则m//n
C.若l⊥α,l//β,则α⊥β D.若α//β,lβ,且l//α,则l//β
5.已知复数(为虚数单位),则下列说法正确的是()
A.的虚部为 B.复数在复平面内对应的点位于第三象限
C.的共轭复数 D.
6.已知为虚数单位,若复数,,则
A. B.
C. D.
7.若某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()
A.240 B.264 C.274 D.282
8.如图,正方体的棱长为1,动点在线段上,、分别是、的中点,则下列结论中错误的是()
A., B.存在点,使得平面平面
C.平面 D.三棱锥的体积为定值
9.已知在平面直角坐标系中,圆:与圆:交于,两点,若,则实数的值为()
A.1 B.2 C.-1 D.-2
10.在正方体中,点、分别为、的中点,过点作平面使平面,平面若直线平面,则的值为()
A. B. C. D.
11.已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合,且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为,那么该双曲线的离心率为()
A. B. C. D.
12.“”是“函数(为常数)为幂函数”的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.若正实数x,y,满足x+2y=5,则x2
14.的三个内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,已知,则________.
15.关于函数有下列四个命题:
①函数在上是增函数;
②函数的图象关于中心对称;
③不存在斜率小于且与函数的图象相切的直线;
④函数的导函数不存在极小值.
其中正确的命题有______.(写出所有正确命题的序号)
16.已知函数,若,则实数的取值范围为__________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)2019年是中华人民共和国成立70周年.为了让人民了解建国70周年的风雨历程,某地的民调机构随机选取了该地的100名市民进行调查,将他们的年龄分成6段:,,…,,并绘制了如图所示的频率分布直方图.
(1)现从年龄在,,内的人员中按分层抽样的方法抽取8人,再从这8人中随机选取3人进行座谈,用表示年龄在)内的人数,求的分布列和数学期望;
(2)若用样本的频率代替概率,用随机抽样的方法从该地抽取20名市民进行调查,其中有名市民的年龄在的概率为.当最大时,求的值.
18.(12分)已知椭圆的左、右顶点分别为、,上、下顶点分别为,,为其右焦点,,且该椭圆的离心率为;
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)过点作斜率为的直线交椭圆于轴上方的点,交直线于点,直线与椭圆的另一个交点为,直线与直线交于点.若,求取值范围.
19.(12分)设等比数列的前项和为,若
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)在和之间插入个实数,使得这个数依次组成公差为的等差数列,设数列的前项和为,求证:.
20.(12分)已知函数.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若,且,求的值.
21.(12分)选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C的参数方程为(α为参数).以直角坐标系原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为,点P为曲线C上的动点,求点P到直线l距离的最大值.
22.(10分)如图,三棱台的底面是正三角形,平面平面,.
(1)求证:;
(2)若,求直线与平面所成角的正弦值.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.D
【解析】
由圆与相切可知,圆心到的距离为2,即.又,由此求出的值,利用
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