数学导学案：平面向量的正交分解及坐标表示.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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2.3。2平面向量的正交分解及坐标表示

1．借助于力的分解理解平面向量的正交分解及坐标表示的意义．

2．了解向量与坐标的关系，会求给定向量的坐标．

1．平面向量的正交分解

把一个平面向量分解为两个互相______的向量，叫做平面向量的正交分解．

【做一做1】如图所示，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O,下列是正交分解的是(）

A。eq\o（AB,\s\up6(→）)＝eq\o(OB，\s\up6(→)）－eq\o（OA,\s\up6（→）) B.eq\o（BD,\s\up6（→））＝eq\o（AD，\s\up6（→)）－eq\o(AB，\s\up6（→）) C。eq\o(AD,\s\up6(→)）＝eq\o（AB,\s\up6（→））＋eq\o(BD，\s\up6(→)） D.eq\o（AB，\s\up6(→))＝eq\o(AC，\s\up6（→))＋eq\o（CB，\s\up6(→)）

2．平面向量的坐标表示

(1)基底:在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向______的两个______向量i,j作为______．

（2）坐标:对于平面内的一个向量a,__________对实数x，y,使得a＝xi＋yj，我们把有序实数对______叫做向量a的坐标,记作a＝（x，y），其中x叫做向量a在____轴上的坐标，y叫做向量a在____轴上的坐标．

(3）坐标表示：a＝（x，y）就叫做向量的坐标表示．

(4）特殊向量的坐标:i＝______，j＝______,0＝______.

【做一做2】已知基向量i＝(1，0)，j＝（0，1)，m＝4i－j，则m的坐标是（)

A．（4,1) B．（－4，1） C．(4，－1) D．(－4,－1）

3．向量与坐标的关系

设eq\o(OA，\s\up6(→））＝xi＋yj，则向量eq\o（OA,\s\up6(→）)的坐标______就是终点A的坐标;反过来，终点A的______就是向量eq\o(OA，\s\up6(→）)的坐标（x，y）．因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示．即以原点为起点的向量与实数对是________的．

向量的坐标和这个向量终点的坐标不一定相同．当且仅当向量的起点是原点时，向量的坐标和这个向量终点的坐标才相同．

【做一做3】平面直角坐标系中，任意向量m的坐标有________个．

答案：1．垂直

【做一做1】B由于eq\o(AD,\s\up6（→）)⊥eq\o(AB,\s\up6（→)），则eq\o（BD,\s\up6(→）)＝eq\o(AD,\s\up6（→））－eq\o(AB,\s\up6（→））是正交分解．

2．(1）相同单位基底(2）有且只有一（x，y）

xy（4)（1，0)(0，1）(0,0)

【做一做2】C

3．(x,y）坐标一一对应

【做一做3】1由于向量和有序实数对是一一对应的,则任意向量m的坐标仅有1个．

1．向量的表示法

剖析：向量的表示方法有三种：

①字母表示法：用一个小写的英文字母来表示,例如向量a；也可以用上面加箭头的两个大写英文字母来表示，例如向量eq\o(AB，\s\up6（→)），该向量的起点是A,终点是B。

②几何表示法：用有向线段来表示．

③代数表示法：用坐标表示．

2．点的坐标与向量坐标的联系与区别

剖析：(1)表示形式不同，向量a＝(x,y）中间用等号连接，而点的坐标A(x,y)中间没有等号．

(2）意义不同,点A(x，y)的坐标(x，y）表示点A在平面直角坐标系中的位置，a＝(x，y）的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向，另外(x,y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点（x，y）或向量a＝（x,y)．

（3)联系:当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同．

题型一求向量的坐标

【例1】如图所示，已知点M（1,2)，N(5，4），试求eq\o（MN,\s\up6（→)）的坐标．

分析：用基底i和j表示eq\o(MN,\s\up6（→）)＝xi＋yj,则（x，y)是eq\o（MN,\s\up6（→））的坐标．

反思：向量a的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系．特别地,M(x1,y1），N（x2,y2），则eq\o（MN,\s\up6(→)）＝（x2－x1，y2－y1)．

题型二由向量共线求参数值

【例2】设a，b是两个不共线的非零向量，若向量ka＋b与2a＋kb共线,求实数k的值

反思：解答由向量