8.6　8.6.2　第1课时　直线与平面垂直的判定.doc

8.6.2直线与平面垂直

第1课时直线与平面垂直的判定

(教师独具内容)

课程标准：从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面的垂直关系，归纳出直线与平面垂直的判定定理．

教学重点：1.直线与平面垂直的定义.2.直线与平面垂直的判定.3.直线与平面所成的角的求解．

教学难点：直线与平面垂直的判定定理的应用．

核心素养：在发现、推导和应用直线与平面垂直的判定定理的过程中发展数学抽象素养、逻辑推理素养和直观想象素养.

知识点一直线与平面垂直的定义及画法

1．定义：一般地，如果直线l与平面α内的eq\x(\s\up1(01))任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作eq\x(\s\up1(02))l⊥α.直线l叫做平面α的eq\x(\s\up1(03))垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足．

2.画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直．如图所示．

3．过一点垂直于已知平面的直线eq\x(\s\up1(04))有且只有一条.过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的eq\x(\s\up1(05))垂线段，eq\x(\s\up1(06))垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离．

知识点二直线与平面垂直的判定定理

1．文字语言：如果一条直线与一个平面内的eq\x(\s\up1(01))两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直．

2．符号语言：m?α，n?α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n?l⊥α.

3．图形语言：如图所示．

知识点三直线与平面所成的角的定义

1．定义：eq\x(\s\up1(01))一条直线l与一个平面α相交，但eq\x(\s\up1(02))不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，eq\x(\s\up1(03))斜线和平面的交点A叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点P向平面α引eq\x(\s\up1(04))垂线PO，eq\x(\s\up1(05))过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和eq\x(\s\up1(06))它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．

2．图形：如图所示．

3．规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是eq\x(\s\up1(07))90°；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是eq\x(\s\up1(08))0°.因此，直线与平面所成的角θ的取值范围是eq\x(\s\up1(09))0°≤θ≤90°.

1．直线和平面垂直的判定方法

(1)利用线面垂直的定义．

(2)利用线面垂直的判定定理．

(3)利用下面两个结论：

①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β.

2．线线垂直的判定方法

(1)异面直线所成的角是90°.

(2)线面垂直，则线线垂直．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)如果一条直线与一个平面内两条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．()

(2)如果一条直线与一个平面内的某一条直线不垂直，那么这条直线一定不与这个平面垂直．()

(3)若直线与平面所成的角为0°，则直线与平面平行．()

答案(1)×(2)√(3)×

2．做一做

(1)若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于()

A．平面OAB B．平面OAC

C．平面OBC D．平面ABC

(2)过平面外一点作该平面的垂线有________条．

(3)如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况：

①平行四边形的两条对角线；②梯形的两条边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．

其中不能保证该直线与平面垂直的是________(填序号)．

(4)AB是平面α的斜线段，其长为a，它在平面α内的射影A′B的长为b，则垂线段A′A的长为________.

(5)如图所示，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成的角为________.

答案(1)C(2)1(3)②④(4)eq\r(a2－b2)(5)45°

题型一直线与平面垂直的定义

例1下列命题中正确的个数是()

①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；

②若直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；

③若直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．

A．0 B．1

C．2 D．3

[解析]当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与α垂直，故①错误；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条直线垂直，故②错误，③正确．故选B.

[答案]B

直线与平面垂直的定义的理解

直线与平面垂直的定义具有两